1) y = (2x^2 - 32 x + 32) * e^x + 32; y ' (x) = (2x^2 - 32 x + 32) ' * e^x + (2x^2 - 32x + 32) * (e^x) '= (4x-32)*e^x +(2x^2-32x +32)* e^x = e^x(4x - 32 + 2x^2 - 32x + 32) = e^x(2x^2 - 28x)=2e^x*x(x - 14); y '(x) = 0; 2e^x * x *(x - 14) = 0; e^x > 0 при всех х; тогда 2x*(14 - x) = 0; x1 = 0; x2 = 14 - стационарные точки. Определим знак производной в точке х = 15. y '(15) = 2e^15 * 15*(-1) = -30*e^15 < 0. дальше знаки чередуем, так как нет корней четной степени. y ' - + - (0)(14)х y убыв возр убывает
Точка максимума - это точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус, то есть х = 14.
y = x^(3/2) - 9x + 19 y '(x) = 3/2 * x^(3/2 - 1) - 9= 3/2 * x^(1/2) - 9 = (3*√x)/2 - 9; 3√x / 2 - 9 = 0; 3√x / 2 = 9; √x / 2 = 3; √x = 6; x = 6^2; x = 36. единственная стационарная точка. Убедимся, что она является точкой минимума. Для этого проверим знак производной слева от нее, например в точке х =0 (просто так удобнее). y '(0)= 3 *√0 / 2 - 9 = - 9 < 0. y ' -- + 36x у убывает возрастает. Производная поменяла знак с минуса на плюс, то есть х = 36 - точка минимума. Подставим в формулу функции значение х = 36 и найдем наименьшее значение функции. y(наим)=36^(3/2) - 9*36 + 19 = 6^3 - 324 + 19= 216 - 324 + 19 = - 89
При решении неравенств второй и выше степени используется метод интервалов. Он состоит в том, что: 1) приводим выражение справа к виду множителей- в числителе и знаменателе; слева должен стоять ноль (неравенства 3 и 4 уже в общем виде) 2) ищем значения х, при которых каждая скобка обращается в ноль (пример- в 3 неравенстве ищем х+2=0, х=-2) 3)размещаем эти значения в порядке возрастания на числовой прямой слева направо (при этом, если неравенство строгое, то все точки будут выколотые, если нестрогое- то выколотыми будут только точки знаменателя) 5)подставляем в выражение слева вместо х любое заведомо очень большое число, и расставляем знаки над скобками (в 4 примере: большое положительное число (х) на большое положительное число минус 2, что равняется положительному числу, разделить на большое положительное число +3, что тоже является положительным числом; +*+/+=+). Следовательно, в первом промежутке (самом правом) от плюс бесконечности до самого правого и самого большого числа на прямой будет стоять +. 6)далее все гораздо проще: если скобка, через корень которой мы проходим (т.е. например, на прямой стоит точка "-3", как в знаменателе 4 неравенства, и её скобка (х+3)) в нечетной степени (1,3,5, т.е. (х+3)^1, как в 4 примере) то знак промежутка, следующего за точкой, меняется, если в четной, то не меняется. Так заполняем до конца. 6) записываем ответ
Я прикрепила пару примеров решения, если будут вопросы, пиши) P.S. К такому виду скобочек нужно ещё привести выражение вида ах^2+bx+c, разложив его на множители.
y ' (x) = (2x^2 - 32 x + 32) ' * e^x + (2x^2 - 32x + 32) * (e^x) '= (4x-32)*e^x +(2x^2-32x +32)* e^x = e^x(4x - 32 + 2x^2 - 32x + 32) = e^x(2x^2 - 28x)=2e^x*x(x - 14);
y '(x) = 0;
2e^x * x *(x - 14) = 0;
e^x > 0 при всех х; тогда
2x*(14 - x) = 0;
x1 = 0; x2 = 14 - стационарные точки.
Определим знак производной в точке х = 15.
y '(15) = 2e^15 * 15*(-1) = -30*e^15 < 0.
дальше знаки чередуем, так как нет корней четной степени.
y ' - + -
(0)(14)х
y убыв возр убывает
Точка максимума - это точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус, то есть х = 14.
y = x^(3/2) - 9x + 19
y '(x) = 3/2 * x^(3/2 - 1) - 9= 3/2 * x^(1/2) - 9 = (3*√x)/2 - 9;
3√x / 2 - 9 = 0;
3√x / 2 = 9;
√x / 2 = 3;
√x = 6;
x = 6^2;
x = 36. единственная стационарная точка. Убедимся, что она является точкой минимума. Для этого проверим знак производной слева от нее, например в точке х =0 (просто так удобнее).
y '(0)= 3 *√0 / 2 - 9 = - 9 < 0.
y ' -- +
36x
у убывает возрастает.
Производная поменяла знак с минуса на плюс, то есть х = 36 - точка минимума. Подставим в формулу функции значение х = 36 и найдем наименьшее значение функции.
y(наим)=36^(3/2) - 9*36 + 19 = 6^3 - 324 + 19= 216 - 324 + 19 = - 89
Он состоит в том, что:
1) приводим выражение справа к виду множителей- в числителе и знаменателе; слева должен стоять ноль (неравенства 3 и 4 уже в общем виде)
2) ищем значения х, при которых каждая скобка обращается в ноль (пример- в 3 неравенстве ищем х+2=0, х=-2)
3)размещаем эти значения в порядке возрастания на числовой прямой слева направо (при этом, если неравенство строгое, то все точки будут выколотые, если нестрогое- то выколотыми будут только точки знаменателя)
5)подставляем в выражение слева вместо х любое заведомо очень большое число, и расставляем знаки над скобками (в 4 примере: большое положительное число (х) на большое положительное число минус 2, что равняется положительному числу, разделить на большое положительное число +3, что тоже является положительным числом; +*+/+=+). Следовательно, в первом промежутке (самом правом) от плюс бесконечности до самого правого и самого большого числа на прямой будет стоять +.
6)далее все гораздо проще: если скобка, через корень которой мы проходим (т.е. например, на прямой стоит точка "-3", как в знаменателе 4 неравенства, и её скобка (х+3)) в нечетной степени (1,3,5, т.е. (х+3)^1, как в 4 примере) то знак промежутка, следующего за точкой, меняется, если в четной, то не меняется. Так заполняем до конца.
6) записываем ответ
Я прикрепила пару примеров решения, если будут вопросы, пиши)
P.S. К такому виду скобочек нужно ещё привести выражение вида ах^2+bx+c, разложив его на множители.