task/30428766 В копилке 1000 монет достоинством в 1 , 2 и 5 р на общую сумму 2000р. Сколько в копилке монет каждого достоинства, если известно, что количество однорублевых монет - простое число
"решение " Пусть количество монет достоинством соответственно 1 ,2 ,5 равны x , y и z. Можем написать систему:
x₁ = - 2 - √5
x₂ = - 2 + √5
x₃ = -3
x₄ = -1
(x² + 4x - 1)(x² + 4x + 3) = 0
Будем решать методом субституции:
t = x²+4x
Заменяем в исходном уравнении x²+4x на t:
(t - 1)(t + 3) = 0
Ищем корни:
t - 1 = 0
t₁ = 1
t + 3 = 0
t₂ = -3
Теперь приравниваем x²+4x к t₁ и к t₂:
1)
x² + 4x = 1
x² + 4x - 1 = 0
(x + 2)² - 5 = 0
(x + 2)² = 5
Ищем первый корень:
x + 2 = -√5
x₁ = - 2 - √5
Ищем второй корень:
x + 2 = √5
x₂ = - 2 + √5
2)
x² + 4x = -3
x² + 4x + 3 = 0
(x + 2)² - 1 = 0
(x + 2)² = 1
Ищем третий корень:
x + 2 = -1
x₃ = -3
Ищем четвёртый корень:
x + 2 = 1
x₄ = -1
task/30428766 В копилке 1000 монет достоинством в 1 , 2 и 5 р на общую сумму 2000р. Сколько в копилке монет каждого достоинства, если известно, что количество однорублевых монет - простое число
"решение " Пусть количество монет достоинством соответственно 1 ,2 ,5 равны x , y и z. Можем написать систему:
{ x+y+z =1000 ; x*1 +2*y +5*z =2000.⇔
{2x+2y+2z = 2000 (два набора→2000) ; x+2y+5z =2000. ⇒
2x+2y+2z =x+2y+5z ⇔ x =3z , т.к. количество однорублевых монет - x простое число , то z =1 и x = 3 ; y =1000 -(x+y)=1000 - 4= 996.
ответ : 3 , 996 и 1 .