Дана функция у = (-1/3)x^3+x^2. 1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет. 2-Выяснить является ли чётной или нечётной. Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: f(-x) = (-1/3)x³ + x² = (1/3)x³ + x² - Нет -f(-x) = -((-1/3)x³ + x²) = -((1/3)x³ + x²) = -(1/3)x³ - x² - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. 3-определить точки пересечения функции с координатными осями . График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (-1/3)x³+ x² = 0. -x³ + 3x² = 0. -x²(x-3) = 0. Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3. График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в y = (-1/3)x^3 +x^2. y = (-1/3)0³+0² = 0. Точка: (0, 0) 4-найти критические точки функции. Находим производную и приравниваем её нулю: y' = -x²+2x = -x(x-2). Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2. 5-определить промежутки монотонности (возрастания,убывания). Исследуем поведение производной вблизи критических точек. х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5 y'=-x^2+2x -1.25 0 0.75 0.75 0 -1.25 Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает. Возрастает на промежутке [0, 2] Убывает на промежутках (-oo, 0] U [2, oo) 6-определить точки экстремума. Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2. Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции. Минимум функции в точке: x = 0, Максимум функции в точке: х = 2. 7 -определить максимальное и минимальное значение функции. Значения функции в экстремальных точках: х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4 = 4/3, х = 0, у = 0. 8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2(x−1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=1 Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (-oo, 1] Выпуклая на промежутках [1, oo)
Об однородных членах и их добрососедских отношениях Жили-были и сейчас живут на свете слова. Дружно живут, без устали работают вместе с людьми. И у каждого слова своя специальность да ещё смежная профессия (и не одна). Работают слова в предложении людям общаться друг с другом, дело налаживать.
Шла я однажды в школу и увидела группу слов, которые ровной шеренгой двигались по той же дороге. Разобрало меня любопытство — догнала я эти слова и обратилась к первому:
— Извините Нельзя ли узнать, как вас зовут и кем вы сегодня работать будете?
— Я глагол выйти и работаю сегодня сказуемым при подлежащем ветер.
— А вы, уважаемое слово? — обратилась я ко второму.
— Я глагол постучать и работаю сказуемым в том же самом предложении.
— Как? Значит, и вы поясняете подлежащее ветер!
— Да, и я. Да ты не удивляйся. Вся наша бригада из шести глаголов сегодня поясняет подлежащее ветер. Мы выполняем в предложении одинаковые синтаксические функции, потому и называемся .
— Но вас так много! Не будете ли вы мешать друг другу?
— Что ты! Работать так очень удобно: мы составляем единый ряд и тем самым поддерживаем друг друга. Послушай:
Осторожно ветер Из калитки вышел. Постучал в окошко, Пробежал по крыше; Поиграл немного Ветками черёмух, Пожурил за что-то Воробьёв знакомых И, расправив бодро Молодые крылья, Полетел куда-то Вперегонки с пылью.
(С. Есенин.)
— Действительно, неплохо получается. А между собой вы как ладите? Кто кому подчиняется?
— В том-то и дело, — сказал третий глагол, — что среди нас нет главных и зависимых слов: мы синтаксически равноправны и находимся по отношению друг к другу не в подчинительных, а в сочинительных отношениях.
— Вот это да! Как же вы связываетесь друг с другом?
— Мы связаны друг с другом интонацией, и нередко нам в этом сочинительные связи.
Пошла я дальше и всё думала: выходит, однородные члены предложения в приведённых примерах, во-первых, зависят от одного и того же слова; во-вторых, являются одинаковыми членами предложения и, в-третьих, находятся в сочинительных отношениях друг с другом.
Стоп! А как же подлежащее? Ведь оно независимый член предложения. От чего же будет зависеть ряд однородных подлежащих? Может, ошибся глагол? Может, однородных подлежащих не бывает?
Достала я учебник грамматики, нашла параграф о подлежащем и решила обратиться прямо к нему:
— Извините за беспокойство, многоуважаемое Подлежащее! Мне очень нужно знать, бывают ли подлежащие однородными.
И Подлежащее ответило:
— Конечно, бывают. А почему ты сомневаешься?
— Так ведь однородные члены зависят от одного и того же слова, а вы...
— У нас однородность проявляется несколько по-иному, чем у остальных членов предложения. Однородные подлежащие сами грамматически командуют одним и тем же сказуемым. Например, в предложении: Малина и черника уже поспели — однородные подлежащие малина, черника определяют форму сказуемого, его множественное число. Понимаешь?
— Как не понять, — ответила я, поблагодарила Подлежащее и закрыла книгу.
Тут прозвенел звонок на урок, и сказка кончилась. Но я решила, что потом подробнее узнаю об однородных членах предложения, и вам советую.
1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет.
2-Выяснить является ли чётной или нечётной.
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
f(-x) = (-1/3)x³ + x² = (1/3)x³ + x²
- Нет
-f(-x) = -((-1/3)x³ + x²) = -((1/3)x³ + x²) = -(1/3)x³ - x²
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3-определить точки пересечения функции с координатными осями .
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(-1/3)x³+ x² = 0.
-x³ + 3x² = 0.
-x²(x-3) = 0.
Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в y = (-1/3)x^3 +x^2.
y = (-1/3)0³+0² = 0. Точка: (0, 0)
4-найти критические точки функции.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y' = -x²+2x = -x(x-2).
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
5-определить промежутки монотонности
(возрастания,убывания).
Исследуем поведение производной вблизи критических точек.
х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5
y'=-x^2+2x -1.25 0 0.75 0.75 0 -1.25
Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает.
Возрастает на промежутке
[0, 2]
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)
6-определить точки экстремума.
Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции.
Минимум функции в точке: x = 0,
Максимум функции в точке: х = 2.
7 -определить максимальное и минимальное значение функции.
Значения функции в экстремальных точках:
х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4 = 4/3,
х = 0, у = 0.
8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2(x−1)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1]
Выпуклая на промежутках
[1, oo)
Об однородных членах и их добрососедских отношениях
Жили-были и сейчас живут на свете слова. Дружно живут, без устали работают вместе с людьми. И у каждого слова своя специальность да ещё смежная профессия (и не одна). Работают слова в предложении людям общаться друг с другом, дело налаживать.
Шла я однажды в школу и увидела группу слов, которые ровной шеренгой двигались по той же дороге. Разобрало меня любопытство — догнала я эти слова и обратилась к первому:
— Извините Нельзя ли узнать, как вас зовут и кем вы сегодня работать будете?
— Я глагол выйти и работаю сегодня сказуемым при подлежащем ветер.
— А вы, уважаемое слово? — обратилась я ко второму.
— Я глагол постучать и работаю сказуемым в том же самом предложении.
— Как? Значит, и вы поясняете подлежащее ветер!
— Да, и я. Да ты не удивляйся. Вся наша бригада из шести глаголов сегодня поясняет подлежащее ветер. Мы выполняем в предложении одинаковые синтаксические функции, потому и называемся .
— Но вас так много! Не будете ли вы мешать друг другу?
— Что ты! Работать так очень удобно: мы составляем единый ряд и тем самым поддерживаем друг друга. Послушай:
Осторожно ветер
Из калитки вышел.
Постучал в окошко,
Пробежал по крыше;
Поиграл немного
Ветками черёмух,
Пожурил за что-то
Воробьёв знакомых
И, расправив бодро
Молодые крылья,
Полетел куда-то
Вперегонки с пылью.
(С. Есенин.)
— Действительно, неплохо получается. А между собой вы как ладите? Кто кому подчиняется?
— В том-то и дело, — сказал третий глагол, — что среди нас нет главных и зависимых слов: мы синтаксически равноправны и находимся по отношению друг к другу не в подчинительных, а в сочинительных отношениях.
— Вот это да! Как же вы связываетесь друг с другом?
— Мы связаны друг с другом интонацией, и нередко нам в этом сочинительные связи.
Пошла я дальше и всё думала: выходит, однородные члены предложения в приведённых примерах, во-первых, зависят от одного и того же слова; во-вторых, являются одинаковыми членами предложения и, в-третьих, находятся в сочинительных отношениях друг с другом.
Стоп! А как же подлежащее? Ведь оно независимый член предложения. От чего же будет зависеть ряд однородных подлежащих? Может, ошибся глагол? Может, однородных подлежащих не бывает?
Достала я учебник грамматики, нашла параграф о подлежащем и решила обратиться прямо к нему:
— Извините за беспокойство, многоуважаемое Подлежащее! Мне очень нужно знать, бывают ли подлежащие однородными.
И Подлежащее ответило:
— Конечно, бывают. А почему ты сомневаешься?
— Так ведь однородные члены зависят от одного и того же слова, а вы...
— У нас однородность проявляется несколько по-иному, чем у остальных членов предложения. Однородные подлежащие сами грамматически командуют одним и тем же сказуемым. Например, в предложении: Малина и черника уже поспели — однородные подлежащие малина, черника определяют форму сказуемого, его множественное число. Понимаешь?
— Как не понять, — ответила я, поблагодарила Подлежащее и закрыла книгу.
Тут прозвенел звонок на урок, и сказка кончилась. Но я решила, что потом подробнее узнаю об однородных членах предложения, и вам советую.