Скорость катера по течению = v+2 км / ч Скорость катера против течения = v-2 км / ч По течению катер проплыл за 40/(v+2) ч Против течения катер проплыл за 16/(v-2) ч Время всего пути составило 3 часа => составим уравнение 40/(v+2) + 16/(v-2) = 3 40/(v+2) + 16/(v-2) - 3 = 0 => Приведем к общему знаменателю, получим (40(v-2)+16(v+2) - 3(v+2)(v-2))/(v+2)(v-2) = 0 Дробь равна 0 , когда числитель равен нулю: 40(v-2)+16(v+2) - 3(v+2)(v-2) = 0 => Раскрываем скобки 40v-80+16v+32-3(v^2-4)=0 56v-80+32-3v^2+12=0 -3v^2+56v-36=0 D = 56^2 - 4*(-3) *(-36) = 3136 - 432 = 2704 v1 = (-56+52)/-6 = 4/6 = 2/3 v2 =(-56-52)/-6=-108/-6= 18 Очевидно, v = 2/3 скоростью быть не может => v = 18 км / ч - собственная скорость катера ответ: v = 18 км / ч
1/2х - время, за которое первый поездс половину пути
1/2у - время, за которое второй поезд половину пути
По условию поезд из пункта В затратил на половину пути на два часа больше, чем поезд из пункта А.
Получаем первое уравнение:
1/2х +2=1/2у
40мин=2/3 часа
2х/3 - путь, который проедет первый поезд за 40 мин.
2у/3 - путь, который проедет второй поезд за 40 мин.
По условию если поезда выезжают навстречу друг другу одновременно, то через 40 минут расстояние между ними составит три четверти расстояния между А и В.
Получаем второе уравнение:
2х/3 + 3/4 + 2у/3 = 1
Упростим его:
2х/3+2у/3=1/4
2х*4+2у*4=1*3
8х+8у=3
Решаем систему уравнений:
{1/2х +2=1/2у
{8x+8y=3
Из первого уравнения выразим у через х:
(1+4х)/2х=1/2у
(1+4х)*2у=1*2х
у=х/(1+4х)
Подставим у=х/(1+4х) во второе уравнение 8х +8у=3.
8х+8х/(1+4х)=3
8х*(1+4х)+8х-3*(1+4х)=0
8х+32х²+8х-3-12х=0
32х² +4х-3=0
D=b²-4ac
D=16-4*32*(-3)=16+384=400
√D=√400=20
x₁=(-4+20)/64=16/64=1/4=0,25
x₂=(-4-20)/64=-24/64= - 3/8 - посторонний корень, т.к. отрицательный.
Находим у, подставив х=0,25 в уравнение у=х/(1+4х).
y=0,25/(1+4*0,25)= 0,25/2=0,125
Имеем 1 - весь путь
0,25 - скорость 1-го поезда, который вышел из А в В
0,125 - скорость 2-го поезда, который вышел из А в В
Путь делим на скорость и получаем время.
1:0,25=4 часа - за это время поезд из А проходит весь путь.
1:0,125=8 часов - за это время поезд из В проходит весь путь.
Скорость катера против течения = v-2 км / ч
По течению катер проплыл за 40/(v+2) ч
Против течения катер проплыл за 16/(v-2) ч
Время всего пути составило 3 часа => составим уравнение
40/(v+2) + 16/(v-2) = 3
40/(v+2) + 16/(v-2) - 3 = 0 => Приведем к общему знаменателю, получим
(40(v-2)+16(v+2) - 3(v+2)(v-2))/(v+2)(v-2) = 0
Дробь равна 0 , когда числитель равен нулю:
40(v-2)+16(v+2) - 3(v+2)(v-2) = 0 => Раскрываем скобки
40v-80+16v+32-3(v^2-4)=0
56v-80+32-3v^2+12=0
-3v^2+56v-36=0
D = 56^2 - 4*(-3) *(-36) = 3136 - 432 = 2704
v1 = (-56+52)/-6 = 4/6 = 2/3
v2 =(-56-52)/-6=-108/-6= 18
Очевидно, v = 2/3 скоростью быть не может => v = 18 км / ч - собственная скорость катера
ответ: v = 18 км / ч
Пусть 1 – расстояние между пунктами А и В.
х - скорость 1-го поезда, который вышел из А в В.
у - скорость 2-го поезда, который вышел из В в А.
1/2х - время, за которое первый поездс половину пути
1/2у - время, за которое второй поезд половину пути
По условию поезд из пункта В затратил на половину пути на два часа больше, чем поезд из пункта А.
Получаем первое уравнение:
1/2х +2=1/2у
40мин=2/3 часа
2х/3 - путь, который проедет первый поезд за 40 мин.
2у/3 - путь, который проедет второй поезд за 40 мин.
По условию если поезда выезжают навстречу друг другу одновременно, то через 40 минут расстояние между ними составит три четверти расстояния между А и В.
Получаем второе уравнение:
2х/3 + 3/4 + 2у/3 = 1
Упростим его:
2х/3+2у/3=1/4
2х*4+2у*4=1*3
8х+8у=3
Решаем систему уравнений:
{1/2х +2=1/2у
{8x+8y=3
Из первого уравнения выразим у через х:
(1+4х)/2х=1/2у
(1+4х)*2у=1*2х
у=х/(1+4х)
Подставим у=х/(1+4х) во второе уравнение 8х +8у=3.
8х+8х/(1+4х)=3
8х*(1+4х)+8х-3*(1+4х)=0
8х+32х²+8х-3-12х=0
32х² +4х-3=0
D=b²-4ac
D=16-4*32*(-3)=16+384=400
√D=√400=20
x₁=(-4+20)/64=16/64=1/4=0,25
x₂=(-4-20)/64=-24/64= - 3/8 - посторонний корень, т.к. отрицательный.
Находим у, подставив х=0,25 в уравнение у=х/(1+4х).
y=0,25/(1+4*0,25)= 0,25/2=0,125
Имеем 1 - весь путь
0,25 - скорость 1-го поезда, который вышел из А в В
0,125 - скорость 2-го поезда, который вышел из А в В
Путь делим на скорость и получаем время.
1:0,25=4 часа - за это время поезд из А проходит весь путь.
1:0,125=8 часов - за это время поезд из В проходит весь путь.
ответ: 4ч; 8ч.