Выразите рациональную дробь в виде десятичной дроби - вопрос №4065293 от hohotuchka 07.01.2021 16:00

Question

Алгебра: Выразите рациональную дробь в виде десятичной дроби с выраженным периодом.

hohotuchka · Answer

Эта дробь имеет вид 0,92(А), где A - 1392-значное число. Его цифры и есть период дроби, при этом $A=3523\cdot (10^{1392}-1)/27081=1300...117.$
Найти это можно даже без калькулятора, но надо кое-чего знать помимо школьной программы. Дробь будет чисто периодической, если ее знаменатель взаимно прост с 10, поэтому будем искать период дроби 100*99799/108324=92+3523/27081=92,(A), которая уже чисто периодическая.
Если обозначить a=3523 и b=27081, A - n-значное число в периоде дроби a/b, то 10^na/b-a/b=a(10^n-1)/b=A.

Т.е. нам надо найти минимальное n, такое что 10^n-1

делится на b. Такое n называется порядком числа 10 по модулю b. Т.к. b=27081=27*17*59, то достаточно найти порядки числа 10 по модулям 27, 17, 59. Они равны 3, 16, 58 соответственно. Поэтому длина периода равна НОК(3,16,58)=1392, а $A=a (10^{1392}-1)/b.$