Войти Регистрация Спроси ai-bota

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

Показать ответ

Ответ:

katasinicina39

13.09.2020 21:48

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0

Разделим на :

$y^2-2xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}= 0$

Разделим на x^2 :

$\dfrac{y^2}{x^2} -2\cdot\dfrac{y}{x} +\dfrac{dy}{dx}= 0$

$\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 -2\cdot\dfrac{y}{x} +y'= 0$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y=tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

t^2 -2t +t'x+t= 0

t^2 -t +t'x= 0

t'x= t-t^2

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} = t-t^2$

$\dfrac{dt}{ t-t^2} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

Чтобы найти интеграл, стоящий в левой части, подынтегральную дробь представим в виде суммы составляющих:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{A}{t} +\dfrac{B}{1-t} =\dfrac{A(1-t)+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{A-At+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{(B-A)T+A}{t(1-t)}$

Дроби равны, знаменатели равны. Значит, равны и числители:

1=(B-A)t+A

Условие равенства:

$\begin{cases} A=1 \\ B-A=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A=1 \\ B=A=1 \end{cases}$

Значит, дробь раскладывается на составляющие следующим образом:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{1}{t} +\dfrac{1}{1-t}$

Возвращаемся к интегрированию:

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t}+\int\dfrac{dt}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Для второй дроби выполним подведение под знак дифференциала:

$\int\dfrac{dt}{ t}-\int\dfrac{d(1-t)}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Интегрируем:

$\ln|t|-\ln|1-t|=\ln|x|-\ln|C|$

$\ln\left|\dfrac{t}{1-t}\right|=\ln\left|\dfrac{x}{C}\right|$

$\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{x}{C}$

Обратная замена:

$\dfrac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{y }{x-y }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{x-y }{y }=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }-1=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=1+\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=\dfrac{x+C}{x}$

$\boxed{y=\dfrac{x^2}{x+C}}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Vikakotik5

27.12.2022 01:04

Исследовать функцию и построить её график: y=x/lnx...

Александра123451111

27.01.2020 00:47

Розв яжіть рівняння:tg(x/6)= - 1...

Даниил5356

12.07.2020 16:12

Чому дорівнює найменше значення функції y=x+4/x на проміжку [1; 3]?...

davideblan33

07.08.2020 04:32

Найдите значение выражения [-7]*[-2.1]+5.6...

машад14

01.12.2020 00:52

Книга и тетрадь вместе стоят 5800сумов.10% цены книги на 220 сумов дороже 35% цены тетради. найдите цену книги и цену тетради по отдельности...

zinina1178

09.11.2020 15:36

Четыре икс в квадрате минус восемьдесят один игрек в квадрате равно ноль...

lublubkoba

30.09.2022 08:53

Еь дуже терміново ! ! розв язати а, б!...

4236fjfjfuf

11.03.2021 20:00

степень, например x^5 = икс в 5 степени.) выполните умножение: (d − 5)(9d + 1)(3d − 9) (b^3 + 4b + - 4b + 2) (x + y)(x^2 - 3x^2y + 2xy^2 + y^2)...

Pmogi111

18.11.2021 10:33

Люди умаляю за что был мне бан эх но я понел алгебра МНОГО ...

ZONAl

18.01.2020 18:28

Дам 5 зірок хто відповість...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку