Войти Регистрация Спроси ai-bota

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

Показать ответ

Ответ:

katasinicina39

13.09.2020 21:48

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0

Разделим на :

$y^2-2xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}= 0$

Разделим на x^2 :

$\dfrac{y^2}{x^2} -2\cdot\dfrac{y}{x} +\dfrac{dy}{dx}= 0$

$\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 -2\cdot\dfrac{y}{x} +y'= 0$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y=tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

t^2 -2t +t'x+t= 0

t^2 -t +t'x= 0

t'x= t-t^2

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} = t-t^2$

$\dfrac{dt}{ t-t^2} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

Чтобы найти интеграл, стоящий в левой части, подынтегральную дробь представим в виде суммы составляющих:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{A}{t} +\dfrac{B}{1-t} =\dfrac{A(1-t)+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{A-At+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{(B-A)T+A}{t(1-t)}$

Дроби равны, знаменатели равны. Значит, равны и числители:

1=(B-A)t+A

Условие равенства:

$\begin{cases} A=1 \\ B-A=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A=1 \\ B=A=1 \end{cases}$

Значит, дробь раскладывается на составляющие следующим образом:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{1}{t} +\dfrac{1}{1-t}$

Возвращаемся к интегрированию:

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t}+\int\dfrac{dt}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Для второй дроби выполним подведение под знак дифференциала:

$\int\dfrac{dt}{ t}-\int\dfrac{d(1-t)}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Интегрируем:

$\ln|t|-\ln|1-t|=\ln|x|-\ln|C|$

$\ln\left|\dfrac{t}{1-t}\right|=\ln\left|\dfrac{x}{C}\right|$

$\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{x}{C}$

Обратная замена:

$\dfrac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{y }{x-y }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{x-y }{y }=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }-1=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=1+\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=\dfrac{x+C}{x}$

$\boxed{y=\dfrac{x^2}{x+C}}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

хорошист546

16.10.2021 05:33

Розв яжіть рівняння: |x^2+2x-7|=8 *...

Vikakotik5

27.12.2022 01:04

Исследовать функцию и построить её график: y=x/lnx...

VADIMSTRENDG

14.08.2022 04:38

Постройте графики функций y=4x-1 и y=5...

Александра123451111

27.01.2020 00:47

Розв яжіть рівняння:tg(x/6)= - 1...

нурперим

13.02.2020 05:58

(х-5)÷2=3÷4 решить уравнение с использованием пропорции...

aigamal

05.03.2021 11:08

Задатися пряму пропорційності формулою,якщо відомо,що він графік проходить через точку В(7,2)...

Даниил5356

12.07.2020 16:12

Чому дорівнює найменше значення функції y=x+4/x на проміжку [1; 3]?...

apomat1234

16.05.2020 13:49

Знайти корінь рівняння: sin x/2 = 1 а. x = π/2 + 4πk, k∈Zб.x = π∕2 +2πk, k∈Zв.x = π/4 + πk, k∈Zг.x = π + 4πk, k∈Z...

nikitakozlav8niks

22.02.2021 13:28

1) 2у в 3 степени +8у-11-(3у в третьей степени -6у+3)= 2) 1/8 x в 5 степени у в 4 степени z в 3 степени (-8у в 3 степени z)= 3) (числитель) 6x в 3 степени -24x (знаменатель)...

davideblan33

07.08.2020 04:32

Найдите значение выражения [-7]*[-2.1]+5.6...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку