Область определения функции определяет, какие значения переменной x можно подставлять в функцию, чтобы получить корректный ответ. В данном случае, у нас есть функция y = √(x^2 - 2x - 48).
Чтобы найти область определения функции, нужно решить неравенство, которое исключает значения x, для которых внутри квадратного корня может быть отрицательное число.
Исходное выражение под корнем (x^2 - 2x - 48) должно быть больше или равно нулю, чтобы функция была определена.
3. Теперь нужно рассмотреть интервалы между значениями корней.
Можно нарисовать числовую прямую и отметить значения x1 и x2 на ней:
-∞ -6 8 +∞
---|-----|----|---
x2 | x1
Имеем две основные области:
- ∞ < x < -6 и 8 < x < + ∞.
Также можно учесть, что функция в подкоренном выражении квадратному равняется x^2 - 2x - 48 >= 0, то есть x^2 - 2x - 48 > 0 или x^2 - 2x - 48 = 0.
4. Проанализируем значения внутри интервалов.
Подставим значения в тестовые точки внутри каждой области и выясним, какое значение принимает функция в этой точке.
Если подставление возвращает значение больше нуля, то это значит, что значение функции в этой области положительное. Если значение подставления меньше нуля, то значение функции отрицательное.
Некоторые тестовые точки, которые можно использовать, это x = -10, x = 0 и x = 10 (достаточно большие границы интервалов).
- ∞ < x < -6:
Подставим x = -10:
y = √((-10)^2 - 2*(-10) - 48) = √(100 + 20 - 48) = √(72) ≈ 8.49.
Функция принимает положительное значение.
8 < x < + ∞:
Подставим x = 10:
y = √((10)^2 - 2*(10) - 48) = √(100 + 20 - 48) = √(72) ≈ 8.49.
Функция принимает положительное значение.
Таким образом, область определения функции y = √(x^2 - 2x - 48) состоит из двух интервалов:
- ∞ < x < -6 и 8 < x < + ∞.
Чтобы найти область определения функции, нужно решить неравенство, которое исключает значения x, для которых внутри квадратного корня может быть отрицательное число.
Исходное выражение под корнем (x^2 - 2x - 48) должно быть больше или равно нулю, чтобы функция была определена.
Для начала, решим неравенство (x^2 - 2x - 48) >= 0:
1. Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 2x - 48 = 0.
Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.
В нашем случае a = 1, b = -2, c = -48.
Вычисляем:
D = (-2)^2 - 4*1*(-48) = 4 + 192 = 196.
2. Поскольку D > 0, у нас есть два корня: x1 и x2.
Используем формулу квадратного корня, чтобы найти значения x1 и x2:
x1 = (-b + √D) / 2a = (-(-2) + √196) / (2*1) = (2 + 14) / 2 = 16 / 2 = 8.
x2 = (-b - √D) / 2a = (2 - 14) / 2 = -12 / 2 = -6.
3. Теперь нужно рассмотреть интервалы между значениями корней.
Можно нарисовать числовую прямую и отметить значения x1 и x2 на ней:
-∞ -6 8 +∞
---|-----|----|---
x2 | x1
Имеем две основные области:
- ∞ < x < -6 и 8 < x < + ∞.
Также можно учесть, что функция в подкоренном выражении квадратному равняется x^2 - 2x - 48 >= 0, то есть x^2 - 2x - 48 > 0 или x^2 - 2x - 48 = 0.
4. Проанализируем значения внутри интервалов.
Подставим значения в тестовые точки внутри каждой области и выясним, какое значение принимает функция в этой точке.
Если подставление возвращает значение больше нуля, то это значит, что значение функции в этой области положительное. Если значение подставления меньше нуля, то значение функции отрицательное.
Некоторые тестовые точки, которые можно использовать, это x = -10, x = 0 и x = 10 (достаточно большие границы интервалов).
- ∞ < x < -6:
Подставим x = -10:
y = √((-10)^2 - 2*(-10) - 48) = √(100 + 20 - 48) = √(72) ≈ 8.49.
Функция принимает положительное значение.
8 < x < + ∞:
Подставим x = 10:
y = √((10)^2 - 2*(10) - 48) = √(100 + 20 - 48) = √(72) ≈ 8.49.
Функция принимает положительное значение.
Таким образом, область определения функции y = √(x^2 - 2x - 48) состоит из двух интервалов:
- ∞ < x < -6 и 8 < x < + ∞.