Левая часть неравенства должна существовать, поэтому a + x >= 0, a - x >= 0
Переписываем систему в виде -a <= x <= a, |x| <= a откуда видно, что a >= 0. Можно сразу записать, что если a < 0, то решений нет.
Тогда обе части исходного неравенства неотрицательные, и можно возводить в квадрат. a + x + 2sqrt(a^2 - x^2) + a - x > a^2 sqrt(a^2 - x^2) > a(a - 2)/2
Если правая часть отрицательна, то решение неравенства - все значения, при которых корень существует. a(a - 2)/2 < 0 при 0 < a < 2, так что еще одна часть ответа такова: если 0 < a < 2, то -a <= x <= a.
Осталось рассмотреть случай, когда a(a - 2) >= 0. Тогда вновь можно возводить неравенство в квадрат. a^2 - x^2 > (a^4 - 4a^3 + 4a^2)/4 x^2 < a^3 (4 - a)/4.
У этого неравенства есть шанс иметь решения, если правая часть строго положительна, поэтому предпоследняя часть ответа: если a = 0 или a >= 4, решений нет. Осталось рассмотреть последний случай 2 <= a < 4.
Заметим, что при таких a правая часть меньше a^2, ведь a^3 (4 - a) / 4 / a^2 = a (4 - a) / 4 < 2 * (4 - 2) / 4 = 1 (известно, что квадратичная парабола a (4 - a) / 4 достигает максимального значения в вершине), поэтому все корни существуют, и последняя часть ответа: если 2 <= a < 4, то -sqrt(a^3 (4 - a))/2 < x < sqrt(a^3 (4 - a))/2.
Собираем всё в одно и получаем ответ. ответ. Если 0 < a < 2, то -a <= x <= a; если 2 <= a < 4, то -sqrt(a^3 (4 - a))/2 < x < sqrt(a^3 (4 - a))/2, для остальных a решений нет.
a + x >= 0,
a - x >= 0
Переписываем систему в виде
-a <= x <= a,
|x| <= a
откуда видно, что a >= 0.
Можно сразу записать, что если a < 0, то решений нет.
Тогда обе части исходного неравенства неотрицательные, и можно возводить в квадрат.
a + x + 2sqrt(a^2 - x^2) + a - x > a^2
sqrt(a^2 - x^2) > a(a - 2)/2
Если правая часть отрицательна, то решение неравенства - все значения, при которых корень существует.
a(a - 2)/2 < 0 при 0 < a < 2, так что еще одна часть ответа такова: если 0 < a < 2, то -a <= x <= a.
Осталось рассмотреть случай, когда a(a - 2) >= 0. Тогда вновь можно возводить неравенство в квадрат.
a^2 - x^2 > (a^4 - 4a^3 + 4a^2)/4
x^2 < a^3 (4 - a)/4.
У этого неравенства есть шанс иметь решения, если правая часть строго положительна, поэтому предпоследняя часть ответа: если a = 0 или a >= 4, решений нет. Осталось рассмотреть последний случай 2 <= a < 4.
Заметим, что при таких a правая часть меньше a^2, ведь
a^3 (4 - a) / 4 / a^2 = a (4 - a) / 4 < 2 * (4 - 2) / 4 = 1 (известно, что квадратичная парабола a (4 - a) / 4 достигает максимального значения в вершине), поэтому все корни существуют, и последняя часть ответа: если 2 <= a < 4, то -sqrt(a^3 (4 - a))/2 < x < sqrt(a^3 (4 - a))/2.
Собираем всё в одно и получаем ответ.
ответ. Если 0 < a < 2, то -a <= x <= a; если 2 <= a < 4, то -sqrt(a^3 (4 - a))/2 < x < sqrt(a^3 (4 - a))/2, для остальных a решений нет.
Объяснение:
2.
a) 3x+12>4x-1 | (-x>-13) /-1 | x<13
7-2x<=10-3x | -3 <= -x /-1 | x <= 13. x принадлежит (-∞; 13].
б) 2x-9 > 6x+1 | (-4x > 10) / -4 | x<10
( -
< 2 ) *-2 | x > 4. x принадлежит (-∞; 10) и (4; +∞).
3.
а)
Взводим все в квадрат
8x+32 => 0
8x => 32 делим все на 8
x => 4. x принадлежит [4; +∞).
б)
Взводим все в квадрат
3-x-2x+1 => 0
4 => 3x Делим все на 3
1.3 => x
x <= 1.3. x принадлежит [-∞; 1.3).
4.
а-7 => 0 3-2a => 0
a => 7 3 => 2a
1.5 => a ответ: a принадлежит [7; +∞).