4. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение (вариационный ряд). Гистограмма. Полигон частот.
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.
Генеральная совокупность – это множество всех мыслимых значений наблюдений (объектов), однородных относительно некоторого признака, которые смогли быть сделаны.
Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) для непосредственного изучения из генеральной совокупности.
Статистическое распределение – это совокупность вариант xi и соответствующих им частот ni.
Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал ni или относительной частоте ni/n. Ширину интервала i можно определить по формуле Стерджеса:
I=(xmax-xmin)/(1+3,32lgn),
Где xmax – максимальное; xmin – минимальное значение вариант, а их разность носит название вариационный размах; n – объем выборки.
Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами xi, ni.
5. Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение).
Мода (Мо) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости.
Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.
Для определения моды интервальных рядов служит формула:
M0=xниж+i*((n2-n1)/(2n2-n1+n3)),
где хниж – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости n2; n2 – частота модального класса; n1 – частота класса, предшествующего модальному; n3 – частота класса, следующего за модальным; i – ширина классового интервала.
Медиана (Ме)- это значение признака. Относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.
Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда
Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:
Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии:
Sв=√(Sв2)
6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.
Статистическое оценивание может выполняться двумя :
1)точечная оценка – оценка, которая дается для некоторой определенной точки;
2)интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение с заданной вероятностью.
Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке.
Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.
Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.
Точечную оценку называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя в:
в=ini,
где xi – варианты выборки; ni – частота встречаемости вариант xi; n – объем выборки.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности (1-р) можно считать невозможным. α=1-р – это уровень значимости. Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это р≥0,95, р≥0,99, р≥0,999.
Для выборки малого объема (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:
в-mt≤≤в+mt (р≥0,95),
+где – генеральное среднее;в – выборочное среднее; t – нормированный показатель распределения Стьюдента с(n-1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал; m – ошибка выборочной средней.
а)
6x {}^{2} + x - 7 = 06x2+x−7=0
D = 1 {}^{2} - 4 \times 6 \times ( - 7) = 1 + 168 = 169D=12−4×6×(−7)=1+168=169
\begin{gathered}x1 = \frac{ - 1 + \sqrt{169} }{2 \times 6} = \frac{ - 1 + 13}{12} = \frac{12}{12} = 1 \\ x2 = \frac{ - 1 - \sqrt{169} }{2 \times 6} = \frac{ - 1 - 13}{12} = \frac{ - 14}{12} = - \frac{7}{6} \end{gathered}
Объяснение:
x1=2×6−1+169=12−1+13=1212=1x2=2×6−1−169=12−1−13=12−14=−67
имеется 2 корня
otvet:x1 = 1x2 = - \frac{7}{6}otvet:x1=1 x2=−67
б)
x {}^{2} - 6x + 2 = 0x2−6x+2=0
D = (- 6) {}^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 36 - 8 = 28D=(−6)2−4×1×2=36−8=28
x1 = \frac{ - ( - 6) + \sqrt{28} }{2 \times 1} = \frac{6 + 2 \sqrt{7} }{2} = \frac{2(3 + \sqrt{7)} }{2} = 3 + \sqrt{7}x1=2×1−(−6)+28=26+27=22(3+7)=3+7
x2 = \frac{ - ( - 6) - \sqrt{28} }{2 \times 1} = \frac{6 - 2 \sqrt{7} }{2} = \frac{2(3 - \sqrt{7)} }{2} = 3 - \sqrt{7}x2=2×1−(−6)−28=26−27=22(3−7)=3−7
имеется 2 корня
otvet:x1 = 3 + \sqrt{7} x2 = 3 - \sqrt{7}otvet:x1=3+7 x2=3−7
4. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение (вариационный ряд). Гистограмма. Полигон частот.
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.
Генеральная совокупность – это множество всех мыслимых значений наблюдений (объектов), однородных относительно некоторого признака, которые смогли быть сделаны.
Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) для непосредственного изучения из генеральной совокупности.
Статистическое распределение – это совокупность вариант xi и соответствующих им частот ni.
Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал ni или относительной частоте ni/n. Ширину интервала i можно определить по формуле Стерджеса:
I=(xmax-xmin)/(1+3,32lgn),
Где xmax – максимальное; xmin – минимальное значение вариант, а их разность носит название вариационный размах; n – объем выборки.
Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами xi, ni.
5. Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение).
Мода (Мо) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости.
Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.
Для определения моды интервальных рядов служит формула:
M0=xниж+i*((n2-n1)/(2n2-n1+n3)),
где хниж – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости n2; n2 – частота модального класса; n1 – частота класса, предшествующего модальному; n3 – частота класса, следующего за модальным; i – ширина классового интервала.
Медиана (Ме)- это значение признака. Относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.
Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда
Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:
Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии:
Sв=√(Sв2)
6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.
Статистическое оценивание может выполняться двумя :
1)точечная оценка – оценка, которая дается для некоторой определенной точки;
2)интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение с заданной вероятностью.
Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке.
Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.
Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.
Точечную оценку называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя в:
в=ini,
где xi – варианты выборки; ni – частота встречаемости вариант xi; n – объем выборки.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности (1-р) можно считать невозможным. α=1-р – это уровень значимости. Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это р≥0,95, р≥0,99, р≥0,999.
Для выборки малого объема (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:
в-mt≤≤в+mt (р≥0,95),
+где – генеральное среднее;в – выборочное среднее; t – нормированный показатель распределения Стьюдента с(n-1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал; m – ошибка выборочной средней.
Объяснение: