1. См графическое решение. Строим график у=2х+5х³ - кубическая парабола возрастающая на (-∞;∞) и график у=х⁸-4х⁴+4 Находим y`=8x⁷-16x³ y`=0 8x⁷-16x³=0 8x³(x⁴-2)=0 x=0 x= - √(√2) x=√(√2) - точки возможных экстремумов х= - √(√2) и х=√(√2) - точки минимума, производная при переходе через эти точки меняет знак с - на +. у(-√(√2))=у(√(√2))=0 х=0- точка максимума, производная при переходе через точку меняет знак с + на -. у(0)=4
Одна точка пересечения х≈0,75 у=3 Найдем абсциссы точек пересечения графика у=х⁸-4х⁴+4 с прямой у=3. Решим уравнение: х⁸-4х⁴+4=3 Замена переменной х⁴=t t²-4t+1=0 D=16-4=12 t=(4-2√3)/2 =2-√3 или t=2+√3
x⁴=2-√3 или х⁴=2+√3 х²=√(2-√3) х₂=√(2+√3) х₁=-√(√(√(2-√3))) или х₂=√(√(√(2-√3))) или х₃=-√(√(√(2+√3))) или х₄=√(√(√(2+√3)))
См. рисунок. х₂=√(√(√2(-√3))) - корень уравнения.
О т в е т.√(√(√(2-√3)))=
2. 3²⁵⁶-1=(3¹²⁸)²-1²=(3¹²⁸+1)(3¹²⁸-1)=(3¹²⁸+1)·((3⁶⁴)²-1²)= (3¹²⁸+1)·(3⁶⁴+1)·(3⁶⁴-1)=...= =(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)(3²-1)= =(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)·8 Уравнение примет вид: 8·(3²+1)·(3⁴+1)·(3⁸+1)·(3¹⁶+1)·(3³²+1)·(3⁶⁴+1)·(3¹²⁸+1)= =(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)·8 имеет корень х=1 О т в е т. х=1
ОДЗ : (x²-3x-3)≠0 (x²-3x+1)≠0
2(3x²-9x-7)/((x²-3x-3)(x²-3x+1)) = 2
(2(3x²-9x-7) - 2(x²-3x-3)(x²-3x+1))/((x²-3x-3)(x²-3x+1)) = 0
Получим систему:
{2(3x²-9x-7) - 2(x²-3x-3)(x²-3x+1) = 0
{(x²-3x-3)(x²-3x+1) ≠ 0
1. 2(3x²-9x-7) - 2(x²-3x-3)(x²-3x+1) = 0
5x²-18x-14 = 2x⁴-12x³+14x²+12x-6
-2x⁴+12x³-8x²-30x-8=0
-2(x-4)(x+1)(x²-3x-1) = 0
Произведение = 0, если хотя бы 1 из множителей = 0
(x-4) = 0
x₁ = 4
x+1 = 0
x₂ = -1
x²-3x-1 = 0
D = 9+4 = 13
x₃ = (3+√(13))/2 ∉ ОДЗ
x₄ = (3-√(13))/2 ∉ ОДЗ
2. (x²-3x-3)(x²-3x+1) ≠ 0
x²-3x-3 ≠ 0
Отсюда корни уравнения x₃ и x₄ не подходят.
(x²-3x+1) ≠ 0
x ≠ (3-√5)/2
x ≠ (3+√5)/2
ответ: -1; 4
2. (3x²+8x-3)/(x+3)=x²-x+2
ОДЗ: (x+3) ≠ 0 ⇒ x ≠ -3
((3x²+8x-3) - (x²-2+2))/(x+3) = 0
{(3x²+8x-3) - (x²-2+2)(x+3) = 0
{(x+3) ≠ 0 Но мы это уже указали в ОДЗ, так что необязательно.
(3x²+8x-3) - (x²-2+2)(x+3) = 0
3x²+8x-3=x³+2x²-x+6
-x³+x²+9x9x=0
(x-3)(x-1)(x+3) = 0
x-3 = 0
x₁ = 3
x-1 = 0
x₂ = 1
x+3 = 0
x₃ = -3 ∉ ОДЗ
ответ: 3; 1
Строим график у=2х+5х³ - кубическая парабола возрастающая на (-∞;∞)
и график у=х⁸-4х⁴+4
Находим y`=8x⁷-16x³
y`=0
8x⁷-16x³=0
8x³(x⁴-2)=0
x=0 x= - √(√2) x=√(√2) - точки возможных экстремумов
х= - √(√2) и х=√(√2) - точки минимума, производная при переходе через эти точки меняет знак с - на +.
у(-√(√2))=у(√(√2))=0
х=0- точка максимума, производная при переходе через точку меняет знак с + на -.
у(0)=4
Одна точка пересечения
х≈0,75
у=3
Найдем абсциссы точек пересечения графика у=х⁸-4х⁴+4 с прямой у=3.
Решим уравнение:
х⁸-4х⁴+4=3
Замена переменной
х⁴=t
t²-4t+1=0
D=16-4=12
t=(4-2√3)/2 =2-√3 или t=2+√3
x⁴=2-√3 или х⁴=2+√3
х²=√(2-√3) х₂=√(2+√3)
х₁=-√(√(√(2-√3))) или х₂=√(√(√(2-√3))) или х₃=-√(√(√(2+√3))) или х₄=√(√(√(2+√3)))
См. рисунок.
х₂=√(√(√2(-√3))) - корень уравнения.
О т в е т.√(√(√(2-√3)))=
2.
3²⁵⁶-1=(3¹²⁸)²-1²=(3¹²⁸+1)(3¹²⁸-1)=(3¹²⁸+1)·((3⁶⁴)²-1²)=
(3¹²⁸+1)·(3⁶⁴+1)·(3⁶⁴-1)=...=
=(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)(3²-1)=
=(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)·8
Уравнение примет вид:
8·(3²+1)·(3⁴+1)·(3⁸+1)·(3¹⁶+1)·(3³²+1)·(3⁶⁴+1)·(3¹²⁸+1)=
=(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)·8
имеет корень х=1
О т в е т. х=1