Зі скриньки що містить 9 жовтих і 12 фіолетових кульок, на вмання вийнято одну кульку, яка ймовірність що та кульки жовта, і фіолетова

Решение
б) f(x)=2x+cos(4x-пи) = 2x - cos4x
f `(x) = 2 + 4sin4x
1)  f `(x) = 0
2 + 4sin4x = 0
4sin4x = - 2
sin4x = - 1/2
4x = (-1)^(n) arcsin(-1/2) + πk, k ∈ Z
4x = (-1)^(n+1) arcsin(1/2) + πk, k ∈ Z
4x = (-1)^(n+1) (π/6) + πk, k ∈ Z
x = (-1)^(n+1) (π/24) + πk/4, k ∈ Z
2)   f `(x) > 0
2 + 4sin4x > 0
sin4x > - 1/2
arcsin(- 1/2) + 2πn < 4x < π - arcsin(-1/2) + 2πn, n ∈ Z
- π/6 + 2πn < 4x < π + π/6 + 2πn, n ∈ Z
- π/24 + πn/2 < x < 7π/24 + πn/2, n ∈ Z
в) f(x) = cos2x
f `(x) = - 2sin2x
1) f `(x) = 0
 - 2sin2x = 0
sin2x = 0
2x = πk, k ∈ Z
x = πk/2, k ∈ Z
2)  - 2sin2x > 0
sin2x < 0
- π - arcsin0 + 2πn < 2x < arcsin0 + 2πn, n ∈ Z
- π  + 2πn < 2x <  2πn, n ∈ Z
- π/2  + πn < x < πn, n ∈ Z

Найдите наименьшее значение функции 4cos2x+8cosx-11

y=4cos2x+8cosx-11  ⇒y=4(2cos²x-1)+8cosx-11 ⇒ y=8cos²x+8cosx-15

Пусть  t=cosx, I t I≤1  или -1≤ t ≤ 1,
найти наименьшее значение функции 
y=8t²+8t-15  при     -1≤ t ≤ 1.


 y=8(t²+t +1/4) -17    y=8(t+1/2)² -17  . НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭТА Ф-ЦИЯ ДОСТИГАЕТ В ВЕРШИНЕ t0= - 1/2 , y0= -17.

II Cпособ.

y=8t²+8t-15  при     -1≤ t ≤ 1.
y¹=16t+8     16t+8=0   t=-1/2∈(-1;1)
a)
можно показать , что это точка минимума:

(y¹<0, y убывает)      -                        +   (y¹>0, y возрастает)
(-1/2)
                                                t=-1/2 - точка минимума 
⇔наименьшее значение функции y=8t²+8t-15  при     -1≤ t ≤ 1 

у(-1/2)=8(-1/2)²+8(-1/2)-15 =2-4-15=-17.

b) можно не показывать , что это точка минимума, тогда вычисляем

y(-1)=8(-1)²+8(-1)-15 =8-8-15=-15.

y(-1/2)=8(-1/2)²+8(-1/2)-15 =2-4-15=-17

y(1)=8(1)²+8(1)-15 =8+8-15=1

сравниваем, выбираем наименьшее  y=-17