За неделю Кира, Оля и Женя написали друг другу 49 записок на уроках. Докажите, что хотя бы одна из них написала за неделю или пять записок на одном и том же уроке, или 5 на разных.

Существует.
Будем считать с 00 года до 99.
Календарь полностью повторяется через 28 лет.
Если 1 января 00 года была среда, то и 28, и 56 и 84 тоже среда.
Внутри этих 28 лет каждый день недели бывает по 4 раза.
Теперь рассмотрим последние 16 лет в столетии.
1.01.85 чт, в 86 пт, в 87 сб, в 88 вс.
88 год високосный, поэтому следующее 1 января будет через 2 дня.
В 89 году вт, в 90 ср, в 91 чт, в 92 пт, в 93 вс, в 94 пн, в 95 вт, в 96 ср, в 97 пт, в 98 сб, в 99 вс.
В итоге за первые 84 года каждый день недели был по 3*4=12 раз.
В последние 16 лет было по 2 вторника среды, четверга и субботы, и по 3 пятницы и воскресенья.
И только 1 понедельник, что нам и нужно.

Для того, чтобы вершины были расположены по одну сторону от оси абсцисс, ординаты этих вершин должны быть одного знака
Пусть (x1,y1) - вершина y = x^2-4px+p
(x2,y2) - вершина y=-x^2+8px+4
1) y = x^2-4px+p
x1 = 4p / 2 = 2p
y(x1)=4p^2-8p^2+p=-4p^2+p
2) y = -x^2+8px+4
x2 = -8p/-2=4p
y(x2) = -16p^2+32p^2+4=16p^2+4
3) Получим систему
 -4p^2+p > 0
 16p^2+4 > 0

а) -4p^2+p > 0
p(-4p+1) > 0

p > 0                        p<0
-4p+1 > 0             -4p+1<0

p > 0                       p<0
p<1/4                      p>1/4

0 < p < 1/4             нет решений
б) 16p^2+4 > 0
4(4p^2+1)>0
4p^2+1>0 при x ∈ R
3) общее решение:
0<p<1/4

При всех p, принадлежащих данному промежутку, вершины парабол будут расположены по одну сторону от оси x (в данном случае - выше)
Если нужно конкретное значение, то, например p = 1/8