Задание 1. Найти минимальную ДНФ для функции, заданной столбцом своих значений (0,1,1,0,1,0,0,1). Задание 2. Найти число булевых функций от n переменных, сохраняющих 1.
Задание 3. Найти число самодвойственных функций от n переменных.
Задание 4. Найти число линейных функций от n переменных.
Задание 5. Методом неопределённых коэффициентов найти полином Жегалкина для функции, заданной столбцом своих значений (0,1,1,0,1,0,0,1).
ДНФ (Дизъюнктивная нормальная форма) представляет собой логическое выражение, состоящее из логического ИЛИ (OR) для комбинаций переменных, аргументов функции, где каждое выражение связано логическим И (AND). Для построения минимальной ДНФ, нужно учесть нулевые значения функции.
Столбец значений: (0,1,1,0,1,0,0,1)
Заметим, что значения функции, равные 1, соответствуют номерам позиций 1, 2, 4 и 7 (используется нумерация с 0).
Теперь построим ДНФ, в которой будут учтены только позиции, в которых значение равно 1:
ДНФ = (¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3) ∨ (x1 ∧ ¬x2) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (x1 ∧ x2 ∧ x3)
Таким образом, минимальная ДНФ для данной функции будет:
(¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3) ∨ (x1 ∧ ¬x2) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (x1 ∧ x2 ∧ x3)
Задание 2. Найти число булевых функций от n переменных, сохраняющих 1:
Для ответа на данное задание, нужно рассмотреть количество возможных значений функций.
Каждая переменная в булевой функции может иметь два возможных значения: 0 или 1. Таким образом, для n переменных количество возможных комбинаций значений будет равно 2^n.
Однако, нам нужно найти только те функции, которые сохраняют значение 1. Это означает, что выходное значение функции должно быть 1 для всех возможных комбинаций значений переменных.
Таким образом, количество булевых функций от n переменных, сохраняющих 1, будет равно 1, так как существует только одна функция, которая сохраняет значение 1 для всех возможных комбинаций значений переменных.
Задание 3. Найти число самодвойственных функций от n переменных:
Самодвойственные функции - это функции, для которых значение функции равно инвертированному значению, если инвертировать значения аргументов функции.
Для ответа на данное задание, нужно рассмотреть количество возможных значений функций.
Каждая переменная в самодвойственной функции может иметь два возможных значения: 0 или 1. Таким образом, для n переменных количество возможных комбинаций значений будет равно 2^n.
Однако, нам нужно найти только те функции, которые являются самодвойственными.
Известно, что самодвойственные функции недоступны для четного n (n=0,2,4,6,...), иначе их количество будет равно 0.
Если n нечетно (n=1,3,5,7,...), то количество самодвойственных функций будет равно (2^n)/2.
Задание 4. Найти число линейных функций от n переменных:
Линейная функция представляет собой комбинацию переменных и их инвертированных значений, где каждая переменная участвует с коэффициентом 0 или 1.
Для ответа на данное задание, нужно рассмотреть количество возможных комбинаций функций.
Каждая переменная в линейной функции может иметь два возможных значения: 0 или 1. Таким образом, для n переменных количество возможных комбинаций значений будет равно 2^n.
Однако, нам нужно найти только те функции, которые являются линейными.
Количество линейных функций от n переменных будет равно 2^(2^n).
Задание 5. Методом неопределенных коэффициентов найти полином Жегалкина для функции, заданной столбцом своих значений (0,1,1,0,1,0,0,1):
Полином Жегалкина представляет собой характеристическое выражение для функции с использованием комбинаций переменных и коэффициентов 0, 1.
Столбец значений: (0,1,1,0,1,0,0,1)
Метод неопределенных коэффициентов позволяет нам составить полином Жегалкина следующим образом:
Пусть x1, x2, x3 будут переменными функции.
Запишем все имеющиеся комбинации значений переменных и соответствующие им коэффициенты:
0x1x2x3
1x1x2x3
1x1¬x2x3
0x1¬x2x3
1¬x1¬x2x3
0¬x1¬x2x3
0¬x1x2x3
1¬x1x2x3
Теперь можем составить полином Жегалкина:
P(x1, x2, x3) = Лямбда + 1x1x2x3 + 1x1¬x2x3 + 1¬x1¬x2x3 + 1¬x1x2x3
где Лямбда - свободный член и представляет собой значение функции для пустого множества аргументов, равное 0 в данном случае.
Таким образом, полином Жегалкина будет: P(x1, x2, x3) = 1x1x2x3 + 1x1¬x2x3 + 1¬x1¬x2x3 + 1¬x1x2x3.