Задано систему уравнений где x, y - переменные, а - произвольная постоянная. 1. Решите систему, если а = 0.
2. Определите все решения заданной системы в зависимости от значений а.

Задано  систему уравнений  

{ ax² +3ax +4^(1+√y) =8 ;  x+2*4^y = 1  где  

x, y - переменные, а - произвольная постоянная .        ( параметр ) .

1. Решите систему, если а = 0.

2. Определите все решения заданной системы в зависимости от значений а.

ответ 1 :           если а = 0 ,              →  ( - 3 , 0,25) .         ,  

ответ 2 :

одно решение:   если а = -2/3      →  ( - 3 , 0,25)  ,

два решения:   если а ≠ 0 и а ≠  -2/3  

  (x₁ ; y₁ ) → ( - 3 , 0,25)  и (x₂ ; y₂ )  ⇒  (2/a ; 0,25( log₂ ( (a -2)/ 2a ) )²  

Объяснение:            ОДЗ :  y ≥ 0  

{ ax² +3ax +4^(1+√y) =8 ;  x+2*4^y = 1.  ⇔

{ ax² +3ax +4^(1+√y) =8 ;  2x+4^(1+√y) = 2.

{ ax² +3ax + 4^(1+√y)  =8  ;    4^(1+√y) = 2 -2x . ⇒

ax² +3ax +2 -2x = 8

ax² -(2 -3a)x - 6 = 0  

1.   Если а = 0  (линейное уравнение)  

0 -2x - 6=0  ⇒ x = - 3  ;  

4^(y) = (1 -x)/2  ⇒ 2^(2√y) = 2¹  ⇔2√y) = 1 ⇔

√y = 0,5  ⇒ y = 0,25                          ответ 1 : (-3 ; 0,25)

2.   Если а ≠ 0 имеем  квадратное  уравнение

ax² - (2-3a)x -6  = 0  дискриминант которого

D = ( 2 -3a )² - 4*1(-6) = ( 2 +3a )² ≥ 0 , следовательно данное кв. уравнение  для любого значения параметра a имеет решение.

2.а  одно решение ,  если D = 0 ,  т.е.  при а = -2/3

x₀ = (2-3a)/2a =  1/a - 3/2 = - 3/2 -3/2 = - 3    ⇒  y₀ =  0,25

два решения, если D ≠ 0 ,   т.е.  при  { а  ≠  -2/3 ; а ≠ 0 }

x₁ =( 2 -3a) - (2 +3a ) ) / 2a =  -3  ⇒  y₁ = 0,25 ;

- - - - - - - - - - - -

x₂ = ( 2 -3a) + (2 +3a ) ) / 2 a  =  2/a   ;  

4^(√y₂) = (1 -x₂) /2 ⇔ 2^(2√y₂) = (a -2)/2a

* * *      (a- 2)/2a >0    ⇒     a ∈ (- ∞ ;0) ∪ (2; ∞)   * * *

2√y₂  = log₂ ( (a -2)/2a )   ⇔ √y₂ =0,5( log₂ ( (a -2)/2a )  

имеет решения  , если    log₂ ( (a -2)/ 2a )   ≥ 0

(a -2)/ 2a )   ≥ 1

(a - 2) / 2a) - 1  ≥ 0

(a - 2 - 2a) /2a  ≥ 0

(a + 2)/ a  ≤  0  

+ + + + + +  [ -2]  - - - - - (0) + + + + + + +   

a ∈ [ -2 ; 0 )   ,   учитывая   а  ≠  -2/3    

получается   a ∈ [ -2 ; -2/3 ) ∪ (-2/3 ; 0 )

y₂=0,25( log₂ ( (a -2)/ 2a ) )²  

* * *   3 раза   повторяется  решения   ( - 3 , 0,25)  * * *