1) Область определения функции - ограничений нет, х ∈ (-∞; +∞).
Точки разрыва функции - нет.
2) Четность или нечетность функции.
y(-x)=-2·x3+6·x+5 ≠ у(х). Функция общего вида
3) Периодичность функции - нет.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y : x=0, y=5
Пересечение с осью 0X
y=0
2·x³-6·x+5=0 . Решается по методу Кардано.
x1=-2.0536232
5) Исследование на экстремум y = 2*x^3-6*x+5.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 6·x²-6
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
6·x² - 6 = 0 , 6(x²- 1) = 0.
Откуда: x1 = -1 , x2 = 1.
(-∞ ;-1) (-1; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = -1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная f''(x) = 12·x.
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю: 12·x = 0.
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
(-∞ ;0) (0; +∞)
f''(x) < 0 f''(x) > 0
функция выпукла функция вогнута
6) Асимптоты кривой.
y = 2·x³-6·x+5.
Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соответствующие пределы находим:
• lim x³-6x+5, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
• lim x³-6x+5, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+∞ и x->-∞. Находим пределы:
• lim x³-6x+5/x, x->+∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует,
• lim x³-6x+5/x, x->-∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.
Дана функция у = 2х³ - 6х + 5.
1) Область определения функции - ограничений нет, х ∈ (-∞; +∞).
Точки разрыва функции - нет.
2) Четность или нечетность функции.
y(-x)=-2·x3+6·x+5 ≠ у(х). Функция общего вида
3) Периодичность функции - нет.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y : x=0, y=5
Пересечение с осью 0X
y=0
2·x³-6·x+5=0 . Решается по методу Кардано.
x1=-2.0536232
5) Исследование на экстремум y = 2*x^3-6*x+5.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 6·x²-6
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
6·x² - 6 = 0 , 6(x²- 1) = 0.
Откуда: x1 = -1 , x2 = 1.
(-∞ ;-1) (-1; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = -1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная f''(x) = 12·x.
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю: 12·x = 0.
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
(-∞ ;0) (0; +∞)
f''(x) < 0 f''(x) > 0
функция выпукла функция вогнута
6) Асимптоты кривой.
y = 2·x³-6·x+5.
Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соответствующие пределы находим:
• lim x³-6x+5, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
• lim x³-6x+5, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+∞ и x->-∞. Находим пределы:
• lim x³-6x+5/x, x->+∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует,
• lim x³-6x+5/x, x->-∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.
а)
y =x² - 3x - 4
С осью ординат (oy) :
y = 0² - 3*0 - 4 = - 4 → точка A₁(0 ; - 4)
С осью абсцисс (ox) :
0 = x² - 3x - 4 ;
D =3² -4*1(-4) =25 =5² ;
x₁ =(3-5)/2 = -1 → точка A₂(-1 ; 0)
x₂ =(3+5)/2 =4 → точка A₃(4 ; 0)
ответ : A₁(0 ; - 4) , A₂(-1 ; 0) , A₃(4 ; 0) .
б) решается аналогично
y = -2x² - 8x +10
С осью ординат (oy) :
y = -2*0² - 8*0 +10 → точка A₁(0 ;10)
С осью абсцисс (ox) :
-2x² - 8x +10 =0 ; || *(-1/2) ||
x² + 4x -5 =0 ;
D/4 =2² -1*(-5) =9 =3² ;
x₁ =(-2-3) = -5 → точка A₂(-5 ; 0)
x₂ =(-2+3) =1 → точка A₃(1 ; 0)
ответ : A₁(0 ; 10) , A₂(- 5 ; 0) , A₃(1 ; 0) .