Заполните пропуски в тексте так, чтобы получилось верное решение. Задача. По кругу сидят 20 мальчиков и 20 девочек. Докажите, что можно выбрать 20 школьников подряд, среди которых мальчиков и девочек поровну.
Решение. Пронумеруем всех детей по часовой стрелке от 1 до 40. Рассмотрим следующие группы детей:
группа №1: дети с номерами 1,2,3,…,20;
группа №2: дети с номерами 2,3,4,…,21;
…
группа №39: дети с номерами 39,40,1,…,18;
группа №40: дети с номерами 40,1,2,…,19.
Пусть aₙ — количество девочек в группе №n, bₙ — мальчиков в группе №n. Определим последовательность cₙ формулой
aₙ-bₙ /40-aₙ-bₙ/aₙ+bₙ/20-aₙ/20-bₙ
Если c(k)=0 для некоторого k, то k-я группа школьников подходит.
Количество мальчиков и количество девочек в одной группе всегда имеют одну чётность, поэтому все члены последовательности
cₙ являются чётными/нечетными.
Нетрудно понять, что если cn≠cn+1, то |cn−cn+1|= ?
Заметим, что сумма c₁ и c₄₀/c₂/c₂₀/c₂₁ равна разности количества мальчиков и девочек во всём кругу, то есть равна нулю. Таким образом, либо оба члена последовательности равны 0, либо они разных знаков. Тогда найдётся k, для которого c(k)=0.
= (4b+a)(3a²b² + 4b- a)
2) 49c² -14c+1 -21ac+3a = (49c²-14c+1) -3a(7c - 1) = (7c - 1)² - 3a(7c - 1) =
=(7c-1)(7c - 1 - 3a)
3)ax²+ay²+x^4+2x²y²+y^4 = a(x²+y²)+(x^4+2x²y²+y^4) = a(x²+y²) +(x²+y²)²=
= (x²+y²) (a +x²+y²)
4) 27c³-d³+9c²+3cd+d² = [(3c)³-d³]+ (9c²+3cd+d²) =
=[(3c - d)(9c²+3cd+d²)] + (9c²+3cd+d²) = (9c²+3cd+d²) (3c-d+1)
5) b³-2b²-2b+1 =(b³ + 1) - 2b( b+1) = (b+1)(b² -b+1) - 2b(b+1) =
= (b+1)(b² -b+1-2b) = (b+1)(b² -3b+1)