Здесь есть ответы и решение кому не лень спишите ответы и решение в тетр лень писать Найдите все x, для которых [x]+{2x}=2,5 , где [x]⎯ целая часть числа x, {x}⎯ дробная часть числа x, то есть {x}=x-[x]. ответ: {2,25;2,75}.
Решение:
Из уравнения и определений следует, что [x]=2,а {2x}=0,5.
Рассмотрим уравнение {2x}=0,5:
1) если 0≤{x}<1/2, то {2x}=2{x} ⇒ {x}=0,25.
2) если 1/2≤{x}<1, то {2x}=2{x}-1 ⇒ {x}=0,75.
Так как x=[x]+{x}, то решения исходного уравнения
x_1=2+0,25=2,25, x_2=2+0,75=2,75.
Обычно Никита выходит из дома в 8:00 утра, садится в машину дяди Вани, который довозит его на учебу к определенному времени. Но в пятницу Никита вышел из дома в 7:10 и побежал в противоположном направлении. Дядя Ваня обождал его и в 8:10 поехал за ним, догнав Никиту, развернулся и доставил его на учебу с опозданием на 20 мин. Во сколько раз скорость машины дяди Вани превышала скорость бегущего Никиты?
ответ: в 13 раз.
Решение:
Машина находилась в пути на 10 мин больше обычного за счет того, что 5 минут догоняла Никиту и 5 минут возвращалась до дома. Машина в 8:15 догнала Никиту и за 65 минут (с 7:10 по 8:15) он пробежал столько, сколько машина ехала 5 минут, т. е. потратил в 65 : 5 = 13 раз больше времени.
Относительно квадратного трехчлена g(x)=mx^2+nx+k известно, что значения g(k) и g(1/m) имеют разные знаки. Могут ли корни многочлена g(x) иметь одинаковые знаки?
ответ: нет.
Решение:
По условию g(k)∙g(1/m)<0, c другой стороны, имеем
g(k)∙g(1/m)=(mk^2+nk+k)(m 1/m^2 +n 1/m m+k)=k/m 〖(mk+n+1) 〗^2.
Следовательно, k/m<0, а по теореме Виета k/m равно произведению корней многочлена g(x). ⇒ корни многочлена g(x) не могут иметь одинаковые знаки.
Докажите, что для неотрицательных чисел a, b, c выполняется неравенство
ab+bc+ca≥a√bc+b√ac+c√ab .
Доказательство:
Пусть ab=x^2,bс=y^2,ac=z^2, откуда для неотрицательных чисел a, b, c
√ab=x,√bc=y,√ac=z. Тогда для неотрицательных чисел x,y,z исходное
неравенство перепишется в виде
x^2+y^2+z^2≥xz+xy+yz. (*)
Так как (x^2+y^2)/2≥xy, ( x^2+z^2)/2≥xz, (y^2+z^2)/2≥yz, то складывая эти три неравенства,
получим верное неравенство (*).
В равнобедренной трапеции MNKL с основаниями ML, NK диагонали перпендикулярны сторонам MN, KL и пересекаются под углом 22,5°. Найдите высоту трапеции, если длина NQ=3, где Q⎯ середина большего основания.
ответ: (3√(2-√2) )/2 (3 sin〖22,5°〗 ).
Решение:
Пусть ML⎯ большее основание трапеции MNKL.
Рассмотрим треугольник MNL: ∠MNL=90°, Q⎯ середина ML (по условию) ⇒
Q⎯ середина гипотенузы ML ⇒ NQ= MQ=QL ⇒ ML=6, так как NQ=3 (по условию).
Пусть точка O⎯ точка пересечения диагоналей, точка H ⎯ основание перпендикуляра, опущенного из K на основание ML, тогда KH ⎯ искомая высота.
Рассмотрим треугольник MOL: ∠KOL=22,5° ⎯ внешний угол в равнобедренном треугольнике MOL ⇒∠OML=∠OLM=11,25°.
Рассмотрим треугольник MKL: ∠MKL=90°, MK= ML〖∙cos〗〖11,25°〗.
Рассмотрим треугольник MKH: ∠MHK=90°, тогда искомая высота
KH= MK〖 ∙sin〗〖11,25°=ML cos〖11,25°〗 〗 sin〖11,25°=3 sin〖22,5°〗=3√((1-cos〖45°〗)/2)=(3√(2-√2) )/2〗
Решим уравнение
х2 + 10х - 24 = 0.
Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х - 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
Примеры.
а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b2 - 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение
ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,
в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.
Данное уравнение корней не имеет.
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0,
уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x1 x2 = q,
x1 +x2 = - p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.
Например,
x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .
Например,
x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;
x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.
Объяснение:
Прочитай это, потом поймёшь.
Это одна из формулировок пятого постулата Евклида:
"Если [на плоскости] при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. "
Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных (см. Начала Евклида) . Поэтому в течение 2 тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида» [3]. Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.