Зная, что tgα+ctgα=2,3, найдите tg²α+ctg²α.
№783, алгебра 9 класс, Макарычев, Миндюк, 2000.

Позначимо сторони прямокутника через х і у. За умовою маємо розв'язати систему рівнянь:

2х + 2у = 46

х^2+y^2 = 17^2 (це отримаємо з теореми Піфагора), або, що є те саме

x + y = 23

х^2+y^2 = 289

Виразивши, наприклад, у з першого рівняння, та підставивши його значення в друге, дістанемо після спрощень друге рівняння: x^2-23x+120 = 0, звідки х1 = 8, х2 = 15. Тому у1 = 15, у2 = 8. Отже, сторони прямокутника у першому випадку х = 8 см, у = 15 см. Другий випадок: х = 15 см, у = 8 см.

Дану систему можна розв'язати і графічно за до непоганого інструменту - програми Magic Graph (дивись вкладення) 

P=2*a+2*b=30;    a+b=30/2=15;         a=15-b;

S=a*b=56;    Подставляем вместо а    15-b         (15-b)*b=56;          -b^2+15*b-56=0;

                                                   Дискриминант-        D=225-224=1

                                                                                        b=(-15-1)/(-2)=8;

                                                                                        или

                                                                                        b=(-15+1)/(-2)=7;

                                                                             Выходит что стороны прямоугольника 8 и 7