Чтобы решить эту задачу, нам потребуется применить формулу сочетания, которая выглядит так:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
где C(n, k) обозначает количество способов выбрать k элементов из n элементов без учета порядка, n! обозначает факториал числа n (произведение всех натуральных чисел от 1 до n), а ! означает знак факториала.
Теперь рассмотрим каждое выражение по очереди:
1) C4 10:
В этом случае у нас есть 10 различных элементов, и мы хотим выбрать 4 элемента из них. Подставив значения в формулу, получим:
C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)!) = 10! / (4! * 6!)
Поскольку факториалы требуют многочисленных вычислений, мы можем упростить данную формулу:
Я надеюсь, что данный подробный ответ помог вам понять процесс вычисления сочетаний и задачу в целом. Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Задача: Доказать, что если A^3 + B^3 + C^3 = 9, то abc делится на 3.
Шаг 1: Начнем с раскрытия кубов:
A^3 + B^3 + C^3 = (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) + C^3 = 9
Шаг 2: Обратите внимание, что у нас есть сумма кубов: A^3 + B^3 + C^3 и сумма (A + B + C), которая умножается на квадратное выражение (A^2 - AB + B^2) и добавляется к C^3. Мы увидим, как это поможет нам доказать нашу конечную цель.
Шаг 3: Отдельно рассмотрим член C^3. Имеем:
A^3 + B^3 + C^3 = (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) + C^3 = 9
Шаг 4: Поскольку сумма кубов равна 9, то их сумма делится на 3 без остатка. Мы также знаем, что C^3 делится на 3 без остатка (так как он является одним из слагаемых суммы). Таким образом, итоговая сумма (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) должна делиться на 3 без остатка.
Шаг 5: Рассмотрим выражение A + B + C. Если оно делится на 3 без остатка, то мы практически вышли к конечному доказательству нашей задачи. Однако, нам нужно еще показать, что (A^2 - AB + B^2) делится на 3.
Шаг 6: Рассмотрим выражение A^2 - AB + B^2. Поскольку мы предполагаем, что A + B + C делится на 3 без остатка, мы можем заменить его на -C (изначальное уравнение). Тогда:
(A + B + C)(A^2 - AB + B^2) = (-C)(A^2 - AB + B^2)
Шаг 7: Разложим (-C)(A^2 - AB + B^2):
(-C)(A^2 - AB + B^2) = -CA^2 + CAB - CB^2
Шаг 8: Заметим, что выражение -CA^2 + CАВ - CB^2 является одним из слагаемых исходной суммы A^3 + B^3 + C^3. Это означает, что оно делится на 3 без остатка. Следовательно, и (A^2 - AB + B^2) делится на 3 без остатка.
Шаг 9: Таким образом, мы доказали, что и A + B + C, и (A^2 - AB + B^2) делятся на 3 без остатка. А их произведение (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) также будет делиться на 3 без остатка.
Шаг 10: Возвращаясь к исходному выражению, мы можем сказать, что abc делится на 3 без остатка, так как (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) делится на 3 без остатка, а abc является произведением трех переменных, каждая из которых делится на 3 без остатка.
Таким образом, мы доказали, что если A^3 + B^3 + C^3 = 9, то abc делится на 3 без остатка.
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
где C(n, k) обозначает количество способов выбрать k элементов из n элементов без учета порядка, n! обозначает факториал числа n (произведение всех натуральных чисел от 1 до n), а ! означает знак факториала.
Теперь рассмотрим каждое выражение по очереди:
1) C4 10:
В этом случае у нас есть 10 различных элементов, и мы хотим выбрать 4 элемента из них. Подставив значения в формулу, получим:
C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)!) = 10! / (4! * 6!)
Поскольку факториалы требуют многочисленных вычислений, мы можем упростить данную формулу:
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
4! = 4 * 3 * 2 * 1
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Подставляем эти значения в формулу:
C(10, 4) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((4 * 3 * 2 * 1) * (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1))
Упрощаем выражение:
C(10, 4) = (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1)
Выполняем вычисления:
C(10, 4) = 10 * 9 * 8 * 7 / 4 * 3 * 2 * 1 = 210.
Таким образом, C4 10 равно 210.
2) C3 8:
В данном случае у нас есть 8 различных элементов, и мы хотим выбрать 3 элемента из них. Подставим значения в формулу:
C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!)
Аналогично первому примеру, упростим формулу:
8! = 8 * 7 * 6 * 5!
3! = 3 * 2 * 1
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Подставляем значения в формулу:
C(8, 3) = (8 * 7 * 6 * 5!) / ((3 * 2 * 1) * (5 * 4 * 3 * 2 * 1))
Упрощаем выражение:
C(8, 3) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1)
Выполняем вычисления:
C(8, 3) = 8 * 7 * 6 / 3 * 2 * 1 = 8 * 7 * 2 = 112.
Таким образом, C3 8 равно 112.
3) C5 7:
В данном случае у нас есть 7 различных элементов, и мы хотим выбрать 5 элементов из них. Подставим значения в формулу:
C(7, 5) = 7! / (5! * (7-5)!) = 7! / (5! * 2!)
Аналогично предыдущим примерам, упростим формулу:
7! = 7 * 6 * 5!
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
2! = 2 * 1
Подставляем значения в формулу:
C(7, 5) = (7 * 6 * 5!) / ((5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (2 * 1))
= (7 * 6) / 2
= 21.
Таким образом, C5 7 равно 21.
4) C3 5:
В данном случае у нас есть 5 различных элементов, и мы хотим выбрать 3 элемента из них. Подставим значения в формулу:
C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!)
Аналогично предыдущим примерам, упростим формулу:
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
3! = 3 * 2 * 1
2! = 2 * 1
Подставляем значения в формулу:
C(5, 3) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1))
= 10.
Таким образом, C3 5 равно 10.
Я надеюсь, что данный подробный ответ помог вам понять процесс вычисления сочетаний и задачу в целом. Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Задача: Доказать, что если A^3 + B^3 + C^3 = 9, то abc делится на 3.
Шаг 1: Начнем с раскрытия кубов:
A^3 + B^3 + C^3 = (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) + C^3 = 9
Шаг 2: Обратите внимание, что у нас есть сумма кубов: A^3 + B^3 + C^3 и сумма (A + B + C), которая умножается на квадратное выражение (A^2 - AB + B^2) и добавляется к C^3. Мы увидим, как это поможет нам доказать нашу конечную цель.
Шаг 3: Отдельно рассмотрим член C^3. Имеем:
A^3 + B^3 + C^3 = (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) + C^3 = 9
Шаг 4: Поскольку сумма кубов равна 9, то их сумма делится на 3 без остатка. Мы также знаем, что C^3 делится на 3 без остатка (так как он является одним из слагаемых суммы). Таким образом, итоговая сумма (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) должна делиться на 3 без остатка.
Шаг 5: Рассмотрим выражение A + B + C. Если оно делится на 3 без остатка, то мы практически вышли к конечному доказательству нашей задачи. Однако, нам нужно еще показать, что (A^2 - AB + B^2) делится на 3.
Шаг 6: Рассмотрим выражение A^2 - AB + B^2. Поскольку мы предполагаем, что A + B + C делится на 3 без остатка, мы можем заменить его на -C (изначальное уравнение). Тогда:
(A + B + C)(A^2 - AB + B^2) = (-C)(A^2 - AB + B^2)
Шаг 7: Разложим (-C)(A^2 - AB + B^2):
(-C)(A^2 - AB + B^2) = -CA^2 + CAB - CB^2
Шаг 8: Заметим, что выражение -CA^2 + CАВ - CB^2 является одним из слагаемых исходной суммы A^3 + B^3 + C^3. Это означает, что оно делится на 3 без остатка. Следовательно, и (A^2 - AB + B^2) делится на 3 без остатка.
Шаг 9: Таким образом, мы доказали, что и A + B + C, и (A^2 - AB + B^2) делятся на 3 без остатка. А их произведение (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) также будет делиться на 3 без остатка.
Шаг 10: Возвращаясь к исходному выражению, мы можем сказать, что abc делится на 3 без остатка, так как (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) делится на 3 без остатка, а abc является произведением трех переменных, каждая из которых делится на 3 без остатка.
Таким образом, мы доказали, что если A^3 + B^3 + C^3 = 9, то abc делится на 3 без остатка.