1 cпособ. n³+m³+k³=(n³-n)+(m³-m)+(k³-k)+(n+m+k)=n(n²-1)+m(m²-1)+k(k²-1)+(n+m+k)=(n-1)n(n+1)+(m-1)m(m+1)+(k-1)k(k+1)+(n+m+k). Т.к. произведение трех последовательных чисел делится на 6 и по условию n+m+k тоже делится на 6, то все доказано.
2 cпособ. Куб числа имеет такой же остаток при делении на 6, как и само число (это легко проверить, перебрав все числа вида 6k, 6k+1, ... 6k+5). По условию n+m+k делится на 6, т.е. сумма остатков от деления n, m, k делится на 6, а значит и сумма остатков кубов (у них те же остатки) тоже делится на 6.
Если n+m+k≡0 (mod 6), то n+m≡-k(mod 6). Значит -k³≡(n+m)³=n³+m³+3nm(n+m)≡n³+m³-3nmk (mod 6). Т.е. n³+m³+k³≡3nmk (mod 6). Т.к. среди чисел n, m, k обязательно есть четное (иначе их сумма была бы нечетным числом и значит не делилась бы на 6), то 3nmk≡0 (mod 6), т.е. n³+m³+k³≡0 (mod 6).
Выполняем построение графика функции. Таблица точек: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 20 12 6 2 0 0 2 6 12 (график прикреплен к решению как фото)
Теперь разберемся с прямой y=m. Это прямая, параллельная оси абцисс. Одна общая точка с графиком будет при прохождении прямой через вершину параболы, которой является наш график. Еще нам известно, что функция имеет разрыв в точке x=3, значит через этот разрыв можно провести еще одну прямую, имеющую с графиком одну общую точку.
Абциссу параболы находим по формуле
Теперь ордината
Первое решение найдено, теперь второе
ответ: прямая y=m имеет с графиком одну общую точку при или
Т.к. произведение трех последовательных чисел делится на 6 и по условию n+m+k тоже делится на 6, то все доказано.
2 cпособ. Куб числа имеет такой же остаток при делении на 6, как и само число (это легко проверить, перебрав все числа вида 6k, 6k+1, ... 6k+5). По условию n+m+k делится на 6, т.е. сумма остатков от деления n, m, k делится на 6, а значит и сумма остатков кубов (у них те же остатки) тоже делится на 6.
Если n+m+k≡0 (mod 6), то n+m≡-k(mod 6).
Значит -k³≡(n+m)³=n³+m³+3nm(n+m)≡n³+m³-3nmk (mod 6).
Т.е. n³+m³+k³≡3nmk (mod 6).
Т.к. среди чисел n, m, k обязательно есть четное (иначе их сумма была бы нечетным числом и значит не делилась бы на 6), то 3nmk≡0 (mod 6), т.е.
n³+m³+k³≡0 (mod 6).
Функция не определена в точке x=3
Решение квадратного уравнения
Выполняем построение графика функции.
Таблица точек:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 20 12 6 2 0 0 2 6 12
(график прикреплен к решению как фото)
Теперь разберемся с прямой y=m. Это прямая, параллельная оси абцисс. Одна общая точка с графиком будет при прохождении прямой через вершину параболы, которой является наш график. Еще нам известно, что функция имеет разрыв в точке x=3, значит через этот разрыв можно провести еще одну прямую, имеющую с графиком одну общую точку.
Абциссу параболы находим по формуле
Теперь ордината
Первое решение найдено, теперь второе
ответ: прямая y=m имеет с графиком одну общую точку при