Знайдіть значення похідної функціїf(x) при заданому значенні аргументу х0;
a)f(x)=2/x-1,x0=-1
b)f(x)=xcosx, x0= Пі

b = -5/2

c = 169/16

Объяснение:

y1 = 4x; y2 = -9x

f(x) = x^2 + bx + с

Уравнение касательной в точке (x0; y0):

y(x) = f(x0) + f'(x0)*(x - x0)

В нашем случае точки касания (x1; y1) и (x2; y2) неизвестны

f(x0) = x0^2 + b*x0 + c

f'(x) = 2x + b; f'(x0) = 2x0 + b

y1(x) = x1^2 + b*x1 + c + f'(x1)*(x-x1) = x1^2 + b*x1 + c + (2x1+b)*(x-x1) = x1^2 + b*x1 + c + x(2x1+b) - 2x1^2 - b*x1 = x(2x1+b) + (x1^2 + b*x1 + c - 2x1^2 - b*x1) = 4x + 0

y2(x) = x2^2 + b*x2 + c + f'(x2)*(x-x2) = x2^2 + b*x2 + c + (2x2+b)*(x-x2) = x2^2 + b*x2 + c + x(2x2+b) - 2x2^2 - b*x2 = x(2x2+b) + (x2^2 + b*x2 + c - 2x2^2 - b*x2) = -9x + 0

Составляем систему 4 уравнений:

{ 2x1 + b = 4

{ x1^2 + b*x1 + c - 2x1^2 - b*x1 = 0

{ 2x2 + b = -9

{ x2^2 + b*x2 + c - 2x2^2 - b*x2 = 0

Упрощаем:

{ b = 4 - 2x1

{ c - x1^2 = 0

{ b = -9 - 2x2

{ c - x2^2 = 0

Из 1 и 3 уравнений делаем 1 уравнение, а Из 2 и 4 уравнений делаем 2 уравнение:

{ b = 4 - 2x1 = -9 - 2x2

{ c = x1^2 = x2^2

Из 2 уравнения следует, что: или x2 = x1, или x2 = -x1.

Но из 1 уравнения ясно, что не может быть x2 = x1, потому что 4 не равно -9.

Значит, x2 = -x1, подставляем:

4 - 2x1 = -9 + 2x1

4 + 9 = 2x1 + 2x1

4x1 = 13

x1 = 13/4; x2 = -x1 = -13/4

b = 4 - 2x1 = 4 - 2*13/4 = 4 - 13/2 = -5/2

c = x1^2 = (13/4)^2 = 169/16

Объяснение:

Даны касательные y₁ = 4·x и y₂ = -9·x к графику функции f(x)=x²+b·x+c.

Пусть прямая y₁ касается к графику функции f(x) в точке x₁, а прямая y₂ касается к графику функции f(x) в точке x₂, то есть:

f(x₁) = y₁(x₁), f'(x₁) = y₁'(x₁) , f(x₂) = y₂(x₂), f'(x₂) = y₂'(x₂)      (1).

Так как  y₁' = (4·x)' = 4, y₂' = (-9·x) = -9 и f'(x) = (x²+b·x+c)'=2·x+b, то подставляя в уравнения (1) получим 4 уравнения:

x₁²+b·x₁+c = 4·x₁       (2)

2·x₁+b = 4                 (3)

x₂²+b·x₂+c = -9·x₂     (4)

2·x₂+b = -9                (5)

Из (3) получим x₁ = (4-b)/2 и подставим в (2):

((4-b)/2)²+b·((4-b)/2)+c = 4·(4-b)/2 или

4-2·b+b²/4+2·b-b²/2+с=8-2·b.

Упростив последнее равенство и получим:

c=4+b²/4-2·b.             (6)

Из (5) получим x₂ = (-9-b)/2 и подставим в (4):

((-9-b)/2)²+b·((-9-b)/2)+c = -9·(-9-b)/2 или

81/4+9·b/2+b²/4-9·b/2-b²/2+с=81/2+9·b/2.

Упростив последнее равенство и получим:

c=81/4+b²/4+9·b/2.      (7)

Приравниваем выражения (6) и (7):

4+b²/4-2·b = 81/4+b²/4+9·b/2 или

13·b/2 = 4-81/4.

Отсюда

b = (-65/4):(13/2) = -5/2.

Подставим последнее в (6):

c= 4+(-5/2)²/4-2·(-5/2) = 4+25/16+5 = 9+25/16 = 169/16.