Знайдіть значення виразу :

1) Можно подобрать общий множитель :
х²-5х +6  = х² -2х  -3х+2*3 =x(x-2) -3 (x-2) = (x-3)(x-2)
2) Можно  решить через дискриминант:
х² -5х+6=0
a= 1 , b= -5, с= 6
D= b² -4ac
D= (-5)² - 4*1*6= 25 - 24 = 1 ; √D= 1
D>0  -   два корня уравнения 
x1;х2 = (-b (+)(-) √D) / 2a
x1 = (5-1) /2 = 4/2 =2
x2= (5+1) /2  =6/2=3
аx² -bx +c = a(x-x1)(x-x2)
x²-5х+6 = 1(х-2)(х-3) =(х-2)(х-3)

1) x²+11x +24 = x²+8x+3x+ 3*8= x(x+8) +3(x+8) = (x+8)(x+3) 

2)
 х²+11х+24=0
D= 11²-4*1*24= 121-96= 25 ;  √D= 5
x1= (-11 -5)/2 = -16/2= -8
x2 = (-11+5) /2 = -6/2 = -3
x²+11x+24= (x- (-8) ) (x-(-3) = (x+8)(x+3) 

Объяснение:

1) Обозначим три последовательных числа: a, a+1, a+2.

Хотя бы одно из них делится на 2.

Если a нечетно, то a+1 четно и делится на 2. Если же a четно, то оно делится на 2.

Хотя бы одно из них делится на 3.

Их произведение делится на 2 и на 3, то есть делится на 6.

2) A = 3^15*6^21*4^40 = 3^15*2^21*3^21*2^80 = 2^101*3^36

B = 2^17*6^23*5^10 = 2^17*2^23*3^23*5^10 = 2^40*3^23*5^10

НОД - это произведение общих простых множителей в наименьших степенях.

НОД(A, B) = 2^40*3^23

НОК - это произведение всех простых множителей в наибольших степенях.

НОК(A, B) = 2^101*3^36*5^10

3) 3x + 12y = 20

Слева можно вынести за скобки общий множитель 3.

3(x + 4y) = 20

Но число справа 20 не делится на 3.

Поэтому это уравнение не имеет решений в целых числах.

4) y = (3x-7)/(x-1)

Выделим целую часть у дроби в правой части

y = (3x-3-4)/(x-1) = (3(x-1) - 4)/(x-1) = 3 - 4/(x-1)

Чтобы y был целым, нужно, чтобы 4 делилось нацело на (x-1).

А это возможно только в таких случаях:

x - 1 = 1; x = 2; y = 3 - 4/1 = -1

x - 1 = 2; x = 3; y = 3 - 4/2 = 1

x - 1 = 4; x = 5; y = 3 - 4/4 = 2

ответ: (2; -1); (3; 1); (5; 2)

5) n^5 + 17n + 10^5 + 2 делится на 3.

Заметим сразу, что 10^5 + 2 = 100002 делится на 3, потому что сумма цифр равна 3.

Докажем, что n^5 + 17n кратна 3. Тогда сумма этих чисел тоже делится на 3.

n^5 + 17n = n*(n^4 + 17)

Если n делится на 3, то задача решена.

Если n делится на 3 с остатком 1, то обозначим n = 3k+1.

(3k+1)^4 + 17 = (3k)^4 + 4*(3k)^3*1 + 6*(3k)^2*1^2 + 4*(3k)*1^3 + 1^4 + 17 =

= 81k^4 + 4*27k^3 + 6*9k^2 + 4*3k + 18

Это число делится на 3, потому что каждое слагаемое делится на 3.

Если n делится на 3 с остатком 2, то обозначим n = 3k+2.

(3k+2)^4 + 17 = (3k)^4 + 4*(3k)^3*2 + 6*(3k)^2*2^2 + 4*(3k)*2^3 + 2^4 + 17 =

= 81k^4 + 8*27k^3 + 24*9k^2 + 32*3k + 33

Это число делится на 3, потому что каждое слагаемое делится на 3.

Таким образом, мы получили:

Если n делится на 3 с остатком 1 или 2, в обоих случаях n^4 + 17 делится на 3.

Отсюда вывод: число n^5 + 17n + 10^5 + 2 делится на 3 при любом n.