Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, и острым углом А=60 градусов. Пусть CDKN – данный прямоугольник, точка D лежит на катете AC , K лежит на гипотенузе AB=8 см, точка N лежит на катете BC.Тогда по условию задачи BC=AB*sin A=8*sin 60=4*корень(3).АС=8*сos 60=8*1\2=4Пусть CD=x см, тогда AD=4-x смТогда DK=AD*tg A=(4-x)*корень(3)Площадь прямоугольника CDKN S(x)=CD*DK=x*(4-x)*корень(3)Ищем производную S’(x)=корень(3)*(4-х-х)=2 *корень(3)*(2-х)Ищем критические точки S’(x)= 2 *корень(3)*(2-х)=0Х=2От 0 до 2 производная больше 0, от 2 до 8 меньше 0, значит в точке 2 у функции максимум, то есть площадь прямоугольника S(x) принимает наибольшее значение для х=2S(2)= 2*(4-2)*корень(3)=4*корень(3).Овтет: 4*корень(3).
Sin^3(x)+cos^3(x)=cos^2(x)-sin^2(x) sin^3(x)+sin^2(x)+cos^3(x)-cos^2(x)=0 sin^2(x)(sin(x)+1)+cos^2(x)*(cos(x)-1)=0 Оценим: sin^2(x)≥0, sin(x)+1≥0, тогда sin^2(x)*(sin(x)+1)≥0 cos^2(x)≥0, cos(x)-1≤0, тогда cos^2(x)*(cos(x)-1)≤0 Получили: уравнение имеет решения,когда оба этих выражения равны 0.
sin^3(x)+sin^2(x)+cos^3(x)-cos^2(x)=0
sin^2(x)(sin(x)+1)+cos^2(x)*(cos(x)-1)=0
Оценим:
sin^2(x)≥0, sin(x)+1≥0, тогда sin^2(x)*(sin(x)+1)≥0
cos^2(x)≥0, cos(x)-1≤0, тогда cos^2(x)*(cos(x)-1)≤0
Получили: уравнение имеет решения,когда оба этих выражения равны 0.
Но тут я лучше по-другому распишу это.
sin^3(x)+cos^3(x)=cos^2(x)-sin^2(x)
(sin(x)+cos(x))*(sin^2(x)-sin(x)cos(x)+cos^2(x))-(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x))=0
(sin(x)+cos(x))*(sin^2(x)-sin(x)cos(x)+cos^2(x)-cos(x)+sin(x))=0
То:
sin(x)+cos(x)=0 или 1-sin(x)cos(x)-cos(x)+sin(x)=0
tg(x)=-1 sin^(x)-2sin(x)cos(x)+cos^2(x)+(sin(x)-cos(x))+sin(x)cos(x)=0
x=-pi/4+pi*n (sin(x)-cos(x))^2+ (sin(x)-cos(x))+sin(x)*cos(x)=0
Пусть sin(x)-cos(x)=t, то
t^2=1-2sin(x)cos(x)
2sin(x)cos(x)=1-t^2
sin(x)cos(x)=(1-t^2)/2
Получили: t^2+t+1/2-1/2t^2=0
0.5t^2+t+0.5=0
t^2+2t+1=0
(t+1)^2=0, ⇒ t=-1
sin(x)-cos(x)=-1
sin(x)=cos(x)-1
x=-pi/2+2pi*n; x=2pi*n
ответ: