A) 20sinx+21sin²x+21cos²x=20Так как sin²x+cos²=1, то21sin²x+21cos²x=21 Уравнение принимает вид 20sinx=-1 sin x=-1/20 х=(-1)^(k)arcsin (-1/20)+πk, k∈Z или х=(-1)^(k+1)arcsin (1/20)+πk, k∈Z б) sin(-)+sin=-1 формула синуса разности sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ уравнение принимает вид √2sin (π/4)cos(x/10)- √2cos(π/4)sin (x/10)+sin (x/10)=1 так как sin (π/4)=cos(π/4)=√2/2, то уравнение примет вид cos(x/10)- sin (x/10)+sin (x/10)=1 cos(x/10)=1 x/10=2πn , n∈Z x=20πn, n∈Z
в) sin^2(10x)=1/4 решаем два уравнения sin10x=1/2 или sin 10x=-1/2 10х=(-1)^(k)π/6+πk, k∈Z или 10х=(-1)^(k+1)π/6+πk, k∈Z
г) cos²x=20cosx или cos²x-20cosx=0 cosx(cosx-20)=0 cosx=0 или сos x-20 =0 x=π/2 +πk, k∈Z cos x=20 - уравнение не имеет решений ответ. x=π/2 +πk, k∈Z д) cos²(x)+19cos(x)=20 Квадратное уравнение относительно косинуса, решается заменой переменной сosx=t -1≤t≤1 t²+19t-20=0 D=19²-4·(-20)=361+80=441=21² t=(-19-21)/2<-1 или t=(-19+21)/2=1 cosx=1 x=2πn,n∈Z е) cos²(x)+58sin(x)+119=0 так как cos²x=1-sin²x 1-sin²x+58sinx+119=0 или sin²x-58sinx -120=0 Замена переменной sin x= t -1≤t≤1 t²-58t-120=0 D=(-58)²-4·120=3364+480=3844=62² t=(58-62)/2=-2<-1 или t=(58+62)/2=60>1 Уравнения sin x=-2 sin x=60 не имеют решений ж) 20sin(x)=cos(x) это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решается делением на соs x≠0 20 tgx=1 tgx=1/20 х=arctg (1/20)+πk, k∈Z
Уравнение принимает вид
20sinx=-1 sin x=-1/20 х=(-1)^(k)arcsin (-1/20)+πk, k∈Z или
х=(-1)^(k+1)arcsin (1/20)+πk, k∈Z б) sin(-)+sin=-1
формула синуса разности
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
уравнение принимает вид
√2sin (π/4)cos(x/10)- √2cos(π/4)sin (x/10)+sin (x/10)=1
так как sin (π/4)=cos(π/4)=√2/2, то
уравнение примет вид
cos(x/10)- sin (x/10)+sin (x/10)=1
cos(x/10)=1
x/10=2πn , n∈Z
x=20πn, n∈Z
в) sin^2(10x)=1/4
решаем два уравнения
sin10x=1/2 или sin 10x=-1/2
10х=(-1)^(k)π/6+πk, k∈Z или 10х=(-1)^(k+1)π/6+πk, k∈Z
г) cos²x=20cosx
или
cos²x-20cosx=0
cosx(cosx-20)=0
cosx=0 или сos x-20 =0
x=π/2 +πk, k∈Z cos x=20 - уравнение
не имеет решений
ответ.
x=π/2 +πk, k∈Z
д) cos²(x)+19cos(x)=20
Квадратное уравнение относительно косинуса, решается заменой переменной
сosx=t
-1≤t≤1
t²+19t-20=0
D=19²-4·(-20)=361+80=441=21²
t=(-19-21)/2<-1 или t=(-19+21)/2=1
cosx=1
x=2πn,n∈Z
е) cos²(x)+58sin(x)+119=0
так как cos²x=1-sin²x
1-sin²x+58sinx+119=0
или
sin²x-58sinx -120=0
Замена переменной
sin x= t
-1≤t≤1
t²-58t-120=0
D=(-58)²-4·120=3364+480=3844=62²
t=(58-62)/2=-2<-1 или t=(58+62)/2=60>1
Уравнения
sin x=-2
sin x=60
не имеют решений
ж) 20sin(x)=cos(x)
это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решается делением на соs x≠0
20 tgx=1
tgx=1/20
х=arctg (1/20)+πk, k∈Z
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√25-(-1))/(2*1)=(5-(-1))/2=(5+1)/2=6/2=3;x_2=(-√25-(-1))/(2*1)=(-5-(-1))/2=(-5+1)/2=-4/2=-2.
Выражение: x^2+3*x-4=(x-1)(x+4)
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=3^2-4*1*(-4)=9-4*(-4)=9-(-4*4)=9-(-16)=9+16=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√25-3)/(2*1)=(5-3)/2=2/2=1;x_2=(-√25-3)/(2*1)=(-5-3)/2=-8/2=-4.