Добрый день! Давайте по порядку решим каждое задание:
1a) Чтобы упростить это выражение, нужно возвести b в степень, равную 3, а затем результат возвести в степень, равную 4. В то же время, b возводится в степень, равную 9, в знаменателе. Начнем:
(b ^ 3) ^ 4 = b ^ (3 * 4) = b ^ 12
Теперь подставим это в выражение:
b * (b ^ 12) / (b ^ 9)
Нам нужно разделить числитель и знаменатель на b ^ 9:
b * (b ^ 12 / b ^ 9) = b * b^(12-9) = b * b^3 = b^4
1б) Здесь у нас есть три одинаковых слагаемых в скобках. Вычтем их:
9x^2y^3 - x^2y^3 - 10x^2y^3 = (9 - 1 - 10)x^2y^3 = -2x^2y^3
1в) Здесь у нас есть два множителя в скобках. Умножим их:
(3x^2y)^4 * (3x * y^3)^2 = 3^(4+2) * (x^2)^4 * (y)^4 * (y^3)^2 = 3^6 * x^8 * y^4 * y^6 = 729x^8y^10
2) Здесь нам нужно возвести число 21 в степень 12, а затем разделить результат на произведение двух чисел, возведенных в соответствующие степени. Выполним по порядку:
21^12 / ((7^4)^3 * (3^2)^4)
Начнем с вычисления (7^4)^3 и (3^2)^4:
(7^4)^3 = 7^(4*3) = 7^12
(3^2)^4 = 3^(2*4) = 3^8
Теперь подставим эти числа обратно в выражение:
21^12 / (7^12 * 3^8)
Мы можем сократить 7^12 в числителе и знаменателе:
21^12 / (7^12 * 3^8) = 3^12 / 3^8 = 3^(12-8) = 3^4 = 81
3) Здесь мы должны сравнить значения двух выражений и решить задачу. Посмотрим на каждое выражение отдельно:
(3/2)^6 = (3^6)/(2^6) = 729/64
(2/3)^5 = (2^5)/(3^5) = 32/243
125^0 = 1
Теперь сравним:
(3/2)^6 > (2/3)^5, так как 729/64 > 32/243
125^0 = 1, это значение равно 1.
Для задачи о математическом моделировании, выделяются три этапа:
1) Формулировка задачи: в данной задаче сторону квадрата увеличили в 4 раза и получили новый квадрат, площадь которого на 135 см² больше, чем площадь данного квадрата.
2) Математическое решение задачи: Нам нужно найти сторону данного квадрата.
Пусть исходное значение стороны квадрата было x. Тогда новый квадрат имеет сторону 4x. По условию, площадь нового квадрата больше площади данного квадрата на 135 см². Мы можем записать это в уравнении:
(4x)^2 - x^2 = 135
16x^2 - x^2 = 135
15x^2 = 135
x^2 = 9
x = √9
x = 3
Ответ: Сторона данного квадрата равна 3 см.
5) Здесь нам нужно решить уравнение:
(9x^4)^5 * (3x)^3 / (27x^5)^4 = -192
Преобразуем выражение слева:
(9^5 * (x^4)^5 * 3^3 * x^3) / (27^4 * (x^5)^4) = -192
(9^5 * x^20 * 3^3 * x^3) / (27^4 * x^20) = -192
(9^5 * 3^3 * x^23) / (27^4 * x^20) = -192
Теперь сократим числители и знаменатели:
(3^5 * 3^3 * x^23) / (3^6 * 3^4 * x^20) = -192
(3^8 * x^23) / (3^10 * x^20) = -192
Теперь снова сократим числители и знаменатели:
(3^8 * x^23) / (3^10 * x^20) = -192
3^-2 * x^3 = -192
(1/3^2) * x^3 = -192
1/9 * x^3 = -192
Теперь умножим обе стороны уравнения на 9:
(x^3) = -192 * 9
x^3 = -1728
Для нахождения значения x возьмем кубический корень из обеих сторон уравнения:
∛(x^3) = ∛(-1728)
x = -12
Для решения этой задачи, давайте взглянем на данную информацию и решим ее пошагово:
1. Поскольку у нас равнобедренный треугольник (AB = AC), углы, прилежащие к основанию (BC), также равны (∡B = ∡BCA).
2. Также нам известно, что проведены биссектрисы углов, прилежащих к основанию (BD и BE). Это означает, что угол ∡D совпадает с углом ∡DCE. И длина биссектрисы угла ∡C равна 22 см.
3. Рассмотрим треугольники ΔDAC и ΔBCE. Они имеют общую сторону DC и равны по второму признаку равенства треугольников (обе биссектрисы проведены из одного и того же угла).
4. Из равенства треугольников ΔDAC и ΔBCE следует, что соответствующие стороны равны. Следовательно, BD = CE.
5. Теперь мы знаем, что у нас равенство пар сторон BC = CE и BD = DC.
6. Рассмотрим треугольник ΔBED. Он является равнобедренным, так как BD = DC. Значит, его углы ∡DBE и ∡DEB равны.
7. Так как ∡DCE = 22° и угол ∡DEB является вертикальным углом к ∡DCE, он также равен 22°.
8. Из равенства ∡DEB = ∡DBE = 22° следует, что треугольник ΔBED равносторонний.
9. Теперь мы знаем, что углы ∡DBE, ∡BED и ∡EBD в равностороннем треугольнике ΔBED равны 60°.
10. Чтобы найти длину биссектрисы угла ∡A, нам нужно рассмотреть треугольник ΔBAD. Угол ∡ADB является вертикальным углом к ∡DBE и равен 60°.
11. Теперь у нас есть два угла треугольника ΔBAD (∡ADB и ∡BAD) и нужно найти третий угол ∡ABD (угол против основания треугольника).
12. Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому ∡ABD = 180° - (∡ADB + ∡BAD).
14. Таким образом, у нас есть два равных угла ∡ABD и ∡DBE в треугольнике ΔBAD.
15. Из равенства углов следует, что треугольник ΔBAD также равнобедренный.
16. Теперь у нас есть равенство BC = CE. Следовательно, BC = 22 см.
17. Для нахождения длины биссектрисы угла ∡A можно использовать теорему биссектрисы, которая гласит: длина биссектрисы угла A равна произведению двух боковых сторон (BD и DC), деленному на сумму этих сторон (BD + DC) и умноженному на косинус половины угла A.
18. В нашем случае у нас есть BD = DC = BC/2 (поскольку ΔBED является равнобедренным треугольником со сторонами BD, DC и BE, а BD = DC).
19. Подставим известные значения в формулу длины биссектрисы:
∠A = 60° (половина угла А)
BD = DC = 22 см
BC = 22 см (из равенства BC = CE)
Имеем: длина биссектрисы угла ∡A = (22 * 22) / (22 + 22) * cos(60°).
Посчитаем это выражение:
1a) Чтобы упростить это выражение, нужно возвести b в степень, равную 3, а затем результат возвести в степень, равную 4. В то же время, b возводится в степень, равную 9, в знаменателе. Начнем:
(b ^ 3) ^ 4 = b ^ (3 * 4) = b ^ 12
Теперь подставим это в выражение:
b * (b ^ 12) / (b ^ 9)
Нам нужно разделить числитель и знаменатель на b ^ 9:
b * (b ^ 12 / b ^ 9) = b * b^(12-9) = b * b^3 = b^4
1б) Здесь у нас есть три одинаковых слагаемых в скобках. Вычтем их:
9x^2y^3 - x^2y^3 - 10x^2y^3 = (9 - 1 - 10)x^2y^3 = -2x^2y^3
1в) Здесь у нас есть два множителя в скобках. Умножим их:
(3x^2y)^4 * (3x * y^3)^2 = 3^(4+2) * (x^2)^4 * (y)^4 * (y^3)^2 = 3^6 * x^8 * y^4 * y^6 = 729x^8y^10
2) Здесь нам нужно возвести число 21 в степень 12, а затем разделить результат на произведение двух чисел, возведенных в соответствующие степени. Выполним по порядку:
21^12 / ((7^4)^3 * (3^2)^4)
Начнем с вычисления (7^4)^3 и (3^2)^4:
(7^4)^3 = 7^(4*3) = 7^12
(3^2)^4 = 3^(2*4) = 3^8
Теперь подставим эти числа обратно в выражение:
21^12 / (7^12 * 3^8)
Мы можем сократить 7^12 в числителе и знаменателе:
21^12 / (7^12 * 3^8) = 3^12 / 3^8 = 3^(12-8) = 3^4 = 81
3) Здесь мы должны сравнить значения двух выражений и решить задачу. Посмотрим на каждое выражение отдельно:
(3/2)^6 = (3^6)/(2^6) = 729/64
(2/3)^5 = (2^5)/(3^5) = 32/243
125^0 = 1
Теперь сравним:
(3/2)^6 > (2/3)^5, так как 729/64 > 32/243
125^0 = 1, это значение равно 1.
Для задачи о математическом моделировании, выделяются три этапа:
1) Формулировка задачи: в данной задаче сторону квадрата увеличили в 4 раза и получили новый квадрат, площадь которого на 135 см² больше, чем площадь данного квадрата.
2) Математическое решение задачи: Нам нужно найти сторону данного квадрата.
Пусть исходное значение стороны квадрата было x. Тогда новый квадрат имеет сторону 4x. По условию, площадь нового квадрата больше площади данного квадрата на 135 см². Мы можем записать это в уравнении:
(4x)^2 - x^2 = 135
16x^2 - x^2 = 135
15x^2 = 135
x^2 = 9
x = √9
x = 3
Ответ: Сторона данного квадрата равна 3 см.
5) Здесь нам нужно решить уравнение:
(9x^4)^5 * (3x)^3 / (27x^5)^4 = -192
Преобразуем выражение слева:
(9^5 * (x^4)^5 * 3^3 * x^3) / (27^4 * (x^5)^4) = -192
(9^5 * x^20 * 3^3 * x^3) / (27^4 * x^20) = -192
(9^5 * 3^3 * x^23) / (27^4 * x^20) = -192
Теперь сократим числители и знаменатели:
(3^5 * 3^3 * x^23) / (3^6 * 3^4 * x^20) = -192
(3^8 * x^23) / (3^10 * x^20) = -192
Теперь снова сократим числители и знаменатели:
(3^8 * x^23) / (3^10 * x^20) = -192
3^-2 * x^3 = -192
(1/3^2) * x^3 = -192
1/9 * x^3 = -192
Теперь умножим обе стороны уравнения на 9:
(x^3) = -192 * 9
x^3 = -1728
Для нахождения значения x возьмем кубический корень из обеих сторон уравнения:
∛(x^3) = ∛(-1728)
x = -12
Ответ: x = -12
1. Поскольку у нас равнобедренный треугольник (AB = AC), углы, прилежащие к основанию (BC), также равны (∡B = ∡BCA).
2. Также нам известно, что проведены биссектрисы углов, прилежащих к основанию (BD и BE). Это означает, что угол ∡D совпадает с углом ∡DCE. И длина биссектрисы угла ∡C равна 22 см.
3. Рассмотрим треугольники ΔDAC и ΔBCE. Они имеют общую сторону DC и равны по второму признаку равенства треугольников (обе биссектрисы проведены из одного и того же угла).
4. Из равенства треугольников ΔDAC и ΔBCE следует, что соответствующие стороны равны. Следовательно, BD = CE.
5. Теперь мы знаем, что у нас равенство пар сторон BC = CE и BD = DC.
6. Рассмотрим треугольник ΔBED. Он является равнобедренным, так как BD = DC. Значит, его углы ∡DBE и ∡DEB равны.
7. Так как ∡DCE = 22° и угол ∡DEB является вертикальным углом к ∡DCE, он также равен 22°.
8. Из равенства ∡DEB = ∡DBE = 22° следует, что треугольник ΔBED равносторонний.
9. Теперь мы знаем, что углы ∡DBE, ∡BED и ∡EBD в равностороннем треугольнике ΔBED равны 60°.
10. Чтобы найти длину биссектрисы угла ∡A, нам нужно рассмотреть треугольник ΔBAD. Угол ∡ADB является вертикальным углом к ∡DBE и равен 60°.
11. Теперь у нас есть два угла треугольника ΔBAD (∡ADB и ∡BAD) и нужно найти третий угол ∡ABD (угол против основания треугольника).
12. Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому ∡ABD = 180° - (∡ADB + ∡BAD).
13. Подставим известные значения: ∡ABD = 180° - (60° + 60°) = 60°.
14. Таким образом, у нас есть два равных угла ∡ABD и ∡DBE в треугольнике ΔBAD.
15. Из равенства углов следует, что треугольник ΔBAD также равнобедренный.
16. Теперь у нас есть равенство BC = CE. Следовательно, BC = 22 см.
17. Для нахождения длины биссектрисы угла ∡A можно использовать теорему биссектрисы, которая гласит: длина биссектрисы угла A равна произведению двух боковых сторон (BD и DC), деленному на сумму этих сторон (BD + DC) и умноженному на косинус половины угла A.
18. В нашем случае у нас есть BD = DC = BC/2 (поскольку ΔBED является равнобедренным треугольником со сторонами BD, DC и BE, а BD = DC).
19. Подставим известные значения в формулу длины биссектрисы:
∠A = 60° (половина угла А)
BD = DC = 22 см
BC = 22 см (из равенства BC = CE)
Имеем: длина биссектрисы угла ∡A = (22 * 22) / (22 + 22) * cos(60°).
Посчитаем это выражение:
Длина биссектрисы угла ∡A = (484) / (44) * cos(60°)
= 11 * cos(60°).
20. Найдем значение cos(60°):
cos(60°) = 1/2.
Подставим это значение в формулу:
Длина биссектрисы угла ∡A = 11 * (1/2)
= 11/2
= 5.5 см.
Итак, длина биссектрисы угла ∡A равна 5.5 см.