Знайти всі значення числа a, при яких має два різні корені рівняння: (a-3)x^2=2(a-5)x+a-2a

                             35a 2+7a 2b 2+5b+b 3     =  

                          сгруппируем слагаемые скобками;  

                     =     (35a 2+7a 2b 2)     +   (5b+b 3)     =  

                        вынесем за скобки общий множитель первой,  
                      а затем и второй группы;  

                =     7a 2 • (5+b 2)       +       b • (5+b 2)     =  

                      у нас получилось выражение из двух слагаемых, в каждом  
                      из которых присутствует общий множитель   (5+b 2).  
                      Его мы вынесем за скобку;  

                =     (7a 2+b) • (5+b 2) .    

            Значит:  

                      35a 2+7a 2b 2+5b+b 3       =       (7a 2+b) (5+b 2) .    


         Разложим на множители ещё один многочлен :    

                        10b 2a – 15b 2 – 8аb + 12b + 6а – 9     =  

                      сгруппируем слагаемые скобками;  

                =       (10b 2a – 15b 2) – (8аb – 12b) + (6а – 9)     =  

                        вынесем за скобки общий множитель первой,  
                      а затем второй и третьей группы;  

                =     5b 2 • (2a – 3)     –     4b • (2а – 3)     +     3 • (2а – 3)   =  

                      у нас получилось выражение из трех слагаемых, в каждом  
                      из которых присутствует общий множитель   (2а – 3).  
                      Его мы вынесем за скобку;  

                  =     (5b 2 – 4b + 3) • (2a – 3) .    

F ' (x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)
f ' (x)=0
x^2-x-2=0
D=1+8=9
x1=(-1-3)/2=-2
x2=(-1+3)/2=1
рисуем числовую прямую, отмечаем точки -2 и 1  и смотрим какой знак на промежутках

Возьмем любое число из промежутка [-беск;-2] (я возьму -3). И считаем значение производной в этой точке:
f ' (-3)=6*9+6*3-12=60>0 следовательно на промежутке [-беск;-2] функция возрастает

Возьмем любое число из промежутка [-2;1] (удобнее всего взять 0). И считаем значение производной в этой точке:
f ' (0)=6*0-6*0-12=-12<0 следовательно на промежутке [-2;1] функция убывает

Возьмем любое число из промежутка [1;+беск] (я возьму 2). И считаем значение производной в этой точке:
f ' (2)=6*4+6*2-12=24>0 следовательно на промежутке [1;+беск] функция возрастает

ОТВЕТ [-беск;-2] функция возрастает , [-2;1] функция убывает , [1;+беск] функция возрастает