Алгебра: Знайти значення похiдноī цього прикладу

Знайти значення похiдноī цього прикладу

Показать ответ

Ответ:

диди65

28.03.2021 18:31

25.378

$a(t_{1}) = - 2 \: \small {м/с} ; \: \: \\ a(t_{2}) = 2 \: \: \small {м/с} ;\: \\ npu \: \: t_{1} = 3 \: с ; \: t_{2} = 5 \: \small{с}$

25.379

$v(3)= 3.5 \: \small {м/с}$

$f(3) =5\: H$

Объяснение:

Указанный закон

$x(t)=\frac{1}{3}t^3-4t^2+15t+2$

описывает функциональную зависимость расстояния х от времени t

Скорость тела v(t) определяется как производная от функции расстояния в заданный момент времени t

v(t) = x'(t)

Ускорение тела a(t) определяется как производная от функции скорости v(t) в заданный момент времени t,

соответственно, ускорение будет определяться как производная второго порядка от функции расстояния в заданный момент времени t

a(t) = v'(t) = x''(t)

Моментом(ами), когда скорость тела равна нулю, будут такие моменты времени t, при которых будет соблюдаться равенство:

$v(t) =0 \: \: < = \: \: x'(t) = 0$

Вычислим значение t, для которого v(t)=0.

Для этого найдем функцию скорости v(t) как производную x(t):

$v(t) = x'(t)=(\frac{1}{3}t^3-4t^2+15t+2)' = \\ =(\frac{1}{3}t^3)'-(4t^2)'+(15t)'+(2)' = \\ = \frac{1}{3} \cdot3t^2-4\cdot2t+15t^{0} +0 = \\ = {t}^{2} - 8t + 15$

Приравняем полученное к нулю:

${t}^{2} - 8t + 15 = 0 \: \\ no \: T. \: Buema : \\ (t - 3)(t - 5) = 0 \\ t_{1} = 3; \: \: \: t_{2} = 5$

Нами получено 2 момента времени, когда скорость тела равна нулю.

Наййдем ускорение тела в вычисленные моменты времени.

Ускорение тела a(t) определяется как производная от функции скорости v(t) в заданный момент времени t,

поэтому вначале найдем производную

$a(t) = v'(t) = ({t}^{2} - 8t + 15)' = \\ \small{=} ({t}^{2})' {-}( 8t)' {+} (15)' {= }2t {- }8t^{0} {+} 0 = 2t - 8 \\ a(t) = 2t - 8$

Затем вычислим ее значение в полученные моменты времени:

$a(t) = 2t - 8; \: \: t_{1} = 3; \: \: t_{2} = 5\: \: \: \\ a(t_{1}) = a(3) = 2 \cdot3 - 8 = 6 - 8 = - 2\\ a( t_{2}) = a(5) = 2 \cdot5 - 8 = 10 - 8 = 2\:$

Примечание:

отрицательное значение ускорения - это означает, что вектор ускорения направлен в обратную сторону относительно вектора направнения движения (т.е. это торможение)

25.379

x(t)=\frac{t^3}{6}-\frac{t^2}{4}+\frac{t}{2}+5x(t)=

6t ^3 − 4t ^2 + 2t+5

1. Найдем скорость в момент времени t=3

- определим функцию скорости v(t), вычислив производную x'(t):

$v(t)=x'(t)=(\frac{t^3}{6}-\frac{t^2}{4}+\frac{t}{2}+5)'=\\=\frac{3t^2}{6}-\frac{2t}{4}+\frac{1}{2}+0=\\=\frac{t^2}{2}-\frac{t}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t^2-t+1)$

- найдем значение v(t) в заданный в условии момент времени t=3

$v(3)=\frac{1}{2}(3^2-3+1)=\frac{1}{2}(9-3+1)= 3.5$

Получили ответ на 1-й вопрос задачи:

$v(3)= 3.5 \: \small {м/с}$

2. Определим значение силы f, действующей на тело, в момент времени t=3.

Как известно, сила рассчитывается как произведение массы тела на его ускорение в конкретный момент времени a(t):

$f(t)=m \cdot {a}(t)$

Ускорение тела a(t) определяется как производная от функции скорости v(t) в заданный момент времени t

(также это - производная второго порядка от функции расстояния):

a(t)=v'(t)=x′'(t)

Вначале определим функцию ускорения тела в момент времени t.

$a(t)=v'(t)=(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{2}+\frac{1}{2})'=\\= \frac{1}{2}(t^2)'-\frac{1}{2}(t)'+\frac{1}{2}= \\ =\frac{1}{2}\cdot{2}(t-\frac{1}{2}t^0+0=\\=t-\frac{1}{2}$