3) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча, состоящая из S конфет. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может съесть не более половины от всех оставшихся конфет, но не менее одной конфеты.
Игра завершается в тот момент, когда в куче не остается ни одной конфеты. Победителем считается игрок, который съел последнюю конфету.
Задание 1. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию при S= 17, 18, 19 ?
Задание 2. Какое максимальное количество ходов может совершить игрок, чтобы победить при S= 20? Назовите имя этого игрока.
Задание 3. Укажите минимальное значение S, большее 40, при котором выигрышную стратегию имеет Ваня.
Для решения этого задания, требуется определить выигрышную стратегию для каждого из игроков в зависимости от количества конфет в куче (S).
Пусть конфет в куче S = 17. Первым ходит Петя.
- Петя может съесть половину конфет, то есть 17 / 2 = 8 конфет. Таким образом, Остается 17 - 8 = 9 конфет.
- Теперь Ваня может съесть от одной до половины оставшихся конфет, то есть от 1 до 4 конфет. Ни один из этих вариантов не приведет к победе Вани, так как Петя сможет съесть остальные конфеты и победить.
- Следующим ходом Петя может съесть половину или все оставшиеся конфеты и победить.
Таким образом, Петя имеет выигрышную стратегию при S = 17.
Пусть теперь S = 18. Определим, какая стратегия будет наилучшей для Пети и Вани.
- Петя съедает 9 конфет, оставляя 18 - 9 = 9 конфет.
- Теперь Ваня имеет выбор: съесть от 1 до 4 конфет. Петя всегда сможет съесть оставшиеся конфеты и победить. Выигрыша стратегия есть у Пети при S = 18.
Пусть теперь S = 19. Определим какая стратегия будет для Пети и Вани быть наилучшей.
- Петя начинает с 9 конфет и съедает половину от них, то есть 9 / 2 = 4 конфеты. Остаются 9 - 4 = 5 конфет.
- Теперь Ване необходимо съесть от 1 до 2 конфет. Петя всегда сможет съесть оставшиеся конфеты и победить. Выигрышная стратегия есть у Пети при S = 19.
Таким образом, для всех значений S = 17, 18, 19, Петя имеет выигрышную стратегию.
Задание 2: При S = 20, максимальное количество ходов и имя выигрывающего игрока.
Пусть S = 20. Начинает Петя.
- Петя может съесть 10 конфет, оставляя 20 - 10 = 10 конфет.
- Ваня может съесть от 1 до 5 конфет. Независимо от количества конфет, которые он выбирает, Петя всегда сможет съесть оставшиеся конфеты и победить.
- Таким образом, Петя всегда сможет победить за 2 хода.
Максимальное количество ходов, которое может совершить игрок для победы при S = 20, составляет 2 хода. Имя победителя - Петя.
Задание 3: Минимальное значение S, большее 40, при котором выигрышную стратегию имеет Ваня.
Чтобы определить минимальное значение S, при котором Ваня имеет выигрышную стратегию, мы можем продолжить анализировать игру для более высоких значений S.
- При S = 41, Петя может съесть половину конфет, оставляя 41 / 2 = 20 конфет. Ваня сможет съесть конфеты и победить.
- При S = 42 или любом другом значении, где S больше 40, Петя также может съесть половину конфет и оставить остаток Ване. Ваня всегда сможет съесть все оставшиеся конфеты и победить.
Таким образом, минимальное значение S больше 40, при котором выигрышную стратегию имеет Ваня, - S = 41.