8). Построить проекции плоскости ABC и точки D. Найти расстояние от точки D
до ABC.
А (115; 5; 85), В (30; 80; 5), С (0; 50; 85), D (70; 85; 110), E (120; 55; 60), F (50; 0; 10).
а) методом прямоугольного треугольника;
б) методом замены плоскостей проекций.
Для начала, рассмотрим, что такое проекции плоскости. Проекция – это перпендикулярное отображение (проведение линий перпендикулярно плоскости проекции) точек плоскости на плоскость проекций. В данной задаче нам нужно найти проекции плоскости ΔABC и точки D.
Построение проекций плоскости ΔABC и точки D:
1) Найдем координаты векторов AB, AC и AD. Для этого вычтем соответствующие координаты:
AB = В - A = (30; 80; 5) - (115; 5; 85) = (-85; 75; -80)
AC = С - A = (0; 50; 85) - (115; 5; 85) = (-115; 45; 0)
AD = D - A = (70; 85; 110) - (115; 5; 85) = (-45; 80; 25)
2) Теперь найдем векторное произведение AB и AC, чтобы найти нормальный вектор (нормаль) плоскости ΔABC. Формула векторного произведения векторов u и v: u x v = (u2v3 - u3v2; u3v1 - u1v3; u1v2 - u2v1)
AB x AC = (-85; 75; -80) x (-115; 45; 0) = (-80*45 - (-80)*0; -(-85)*(-115) - (-80)*0; (-85*0 - 75*(-115))) = (-3600; -9800; 8625)
Нормальный вектор плоскости ΔABC равен (-3600; -9800; 8625).
3) Так как заданы точки E и F, мы можем построить пересечение плоскости ΔABC и вертикальной прямой DF, проходящей через точки D и F. Найдем уравнение плоскости BCDEF для этого. Плоскость BCDEF содержит точки B, C, D, E, F. Ее координаты мы найдем из координат плоскости ΔABC и B, C, D, E, F:
Координаты плоскости BCDEF: B(30; 80; 5), C(0; 50; 85), D(70; 85; 110), E(120; 55; 60), F(50; 0; 10)
Нормальный вектор плоскости BCDEF: (-3600; -9800; 8625)
4) Для нахождения расстояния от точки D до плоскости ΔABC можно воспользоваться двумя методами: методом прямоугольного треугольника и методом замены плоскостей проекций. Давайте рассмотрим их по очереди.
а) Метод прямоугольного треугольника:
Для этого найдем длину перпендикуляра из точки D на плоскость ΔABC. Для этого воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точкой и плоскостью:
Расстояние = |AD * n| / |n|,
где AD - вектор, идущий от точки D до точки плоскости ΔABC,
n - нормальный вектор плоскости ΔABC.
Расстояние = |(-45; 80; 25) * (-3600; -9800; 8625)| / |(-3600; -9800; 8625)|
= |(-45 * -3600 + 80 * -9800 + 25 * 8625)| / |(-3600; -9800; 8625)|
= (162000 + (-784000) + 215625) / 12194.413
= -406375 / 12194.413
≈ -33.31
Расстояние от точки D до плоскости ΔABC примерно равно 33.31 единицы.
б) Метод замены плоскостей проекций:
Запишем уравнение плоскости ΔABC:
Аx + Ву + Сz + D = 0,
где (x, y, z) - координаты точки на плоскости,
A, B, C, D - коэффициенты плоскости ΔABC.
Подставим координаты точки D в это уравнение:
115x + 5у + 85z + D = 0,
115 * 70 + 5 * 85 + 85 * 110 + D = 0,
8050 + 425 + 9350 + D = 0,
17825 + D = 0,
D = -17825.
Теперь уравнение плоскости ΔABC примет вид: 115x + 5у + 85z - 17825 = 0.
Заменим это уравнение уравнением плоскости BCDEF, так как они пересекаются:
-3600x - 9800у + 8625z - 17825 = 0.
Для нахождения расстояния, мы заменяем уравнение плоскостей проекций и находим координату z точки D. Запишем уравнение плоскости BCDEF с координатой z:
-3600x - 9800у + 8625z - 17825 = 0.
Подставим координаты точки D в это уравнение:
-3600 * 70 - 9800 * 85 + 8625 * z - 17825 = 0,
-252000 - 833000 + 8625z - 17825 = 0,
-1089000 + 8625z - 17825 = 0,
8625z = 1089000 + 17825,
8625z = 1106825,
z ≈ 128.324.
Расстояние от точки D до плоскости ΔABC равно координате z точки D на плоскости BCDEF. Значит, расстояние ≈ 128.324 единицы.
В итоге, расстояние от точки D до плоскости ΔABC составляет примерно 33.31 единицы (метод прямоугольного треугольника) или 128.324 единицы (метод замены плоскостей проекций).