1) Чтобы провести плоскость через начало координат, нужно найти направляющие векторы для плоскостей 4х-у+3z-1=0 и х+5у-z+2=0.
Для первой плоскости 4х-у+3z-1=0:
Направляющие векторы будут равны коэффициентам при переменных x, y, z в уравнении плоскости. То есть:
Вектор a = (4, -1, 3).
Для второй плоскости х+5у-z+2=0:
Вектор b = (1, 5, -1).
Теперь найдем векторное произведение векторов a и b:
a × b = (4, -1, 3) × (1, 5, -1) = (8, 7, 21).
Таким образом, вектор (8, 7, 21) является направляющим вектором для искомой плоскости.
Имея направляющий вектор, мы можем записать уравнение плоскости через начало координат:
8x + 7y + 21z = 0.
2) Чтобы провести плоскость через точку (1, 1, 1), нужно также найти направляющие векторы для двух исходных плоскостей.
Для первой плоскости 4х-у+3z-1=0:
Направляющий вектор a = (4, -1, 3), тот же, что и в предыдущей задаче.
Для второй плоскости х+5у-z+2=0:
Вектор b = (1, 5, -1), такой же, как в предыдущей задаче.
Теперь найдем векторное произведение векторов a и b:
a × b = (4, -1, 3) × (1, 5, -1) = (8, 7, 21), такой же, как в предыдущей задаче.
Теперь у нас есть направляющий вектор (8, 7, 21) и точка (1, 1, 1). Мы можем записать уравнение плоскости следующим образом:
8(x - 1) + 7(y - 1) + 21(z - 1) = 0.
Упрощая это уравнение, получаем:
8x + 7y + 21z - 36 = 0.
3) Чтобы провести плоскость параллельную оси у, нам просто нужно записать уравнение плоскости в виде у = k, где k - произвольное число.
Как мы знаем из предыдущих задач, направляющий вектор для первой плоскости равен (4, -1, 3).
Теперь мы можем записать уравнение плоскости таким образом:
4x - y + 3z = k.
Таким образом, все плоскости, у которых уравнение имеет вид 4x - y + 3z = k, будут параллельны оси у.
4) Чтобы провести плоскость, перпендикулярную плоскости 2х-у+3z-3=0, мы должны найти нормальный вектор для данной плоскости.
Нормальный вектор для плоскости можно получить, посмотрев на коэффициенты при переменных x, y и z в уравнении плоскости. В данном случае нормальный вектор будет равен (2, -1, 3).
Так как мы ищем перпендикулярную плоскость, направляющие векторы для этой плоскости будут коллинеарны нормальному вектору исходной плоскости.
Таким образом, направляющие векторы для плоскости, перпендикулярной плоскости 2х-у+3z-3=0, равны (2, -1, 3).
Мы можем записать уравнение плоскости следующим образом, используя точку (x0, y0, z0) внутри этой плоскости:
2(x - x0) - (y - y0) + 3(z - z0) = 0.
Так как данное уравнение не имеет ограничения на (x0, y0, z0), мы можем выбрать любую точку вне плоскости, например, (0, 0, 0), и получить следующее уравнение плоскости, перпендикулярное данной:
2x - y + 3z = 0.
Это и есть уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2х-у+3z-3=0.
1) Чтобы провести плоскость через начало координат, нужно найти направляющие векторы для плоскостей 4х-у+3z-1=0 и х+5у-z+2=0.
Для первой плоскости 4х-у+3z-1=0:
Направляющие векторы будут равны коэффициентам при переменных x, y, z в уравнении плоскости. То есть:
Вектор a = (4, -1, 3).
Для второй плоскости х+5у-z+2=0:
Вектор b = (1, 5, -1).
Теперь найдем векторное произведение векторов a и b:
a × b = (4, -1, 3) × (1, 5, -1) = (8, 7, 21).
Таким образом, вектор (8, 7, 21) является направляющим вектором для искомой плоскости.
Имея направляющий вектор, мы можем записать уравнение плоскости через начало координат:
8x + 7y + 21z = 0.
2) Чтобы провести плоскость через точку (1, 1, 1), нужно также найти направляющие векторы для двух исходных плоскостей.
Для первой плоскости 4х-у+3z-1=0:
Направляющий вектор a = (4, -1, 3), тот же, что и в предыдущей задаче.
Для второй плоскости х+5у-z+2=0:
Вектор b = (1, 5, -1), такой же, как в предыдущей задаче.
Теперь найдем векторное произведение векторов a и b:
a × b = (4, -1, 3) × (1, 5, -1) = (8, 7, 21), такой же, как в предыдущей задаче.
Теперь у нас есть направляющий вектор (8, 7, 21) и точка (1, 1, 1). Мы можем записать уравнение плоскости следующим образом:
8(x - 1) + 7(y - 1) + 21(z - 1) = 0.
Упрощая это уравнение, получаем:
8x + 7y + 21z - 36 = 0.
3) Чтобы провести плоскость параллельную оси у, нам просто нужно записать уравнение плоскости в виде у = k, где k - произвольное число.
Как мы знаем из предыдущих задач, направляющий вектор для первой плоскости равен (4, -1, 3).
Теперь мы можем записать уравнение плоскости таким образом:
4x - y + 3z = k.
Таким образом, все плоскости, у которых уравнение имеет вид 4x - y + 3z = k, будут параллельны оси у.
4) Чтобы провести плоскость, перпендикулярную плоскости 2х-у+3z-3=0, мы должны найти нормальный вектор для данной плоскости.
Нормальный вектор для плоскости можно получить, посмотрев на коэффициенты при переменных x, y и z в уравнении плоскости. В данном случае нормальный вектор будет равен (2, -1, 3).
Так как мы ищем перпендикулярную плоскость, направляющие векторы для этой плоскости будут коллинеарны нормальному вектору исходной плоскости.
Таким образом, направляющие векторы для плоскости, перпендикулярной плоскости 2х-у+3z-3=0, равны (2, -1, 3).
Мы можем записать уравнение плоскости следующим образом, используя точку (x0, y0, z0) внутри этой плоскости:
2(x - x0) - (y - y0) + 3(z - z0) = 0.
Так как данное уравнение не имеет ограничения на (x0, y0, z0), мы можем выбрать любую точку вне плоскости, например, (0, 0, 0), и получить следующее уравнение плоскости, перпендикулярное данной:
2x - y + 3z = 0.
Это и есть уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2х-у+3z-3=0.