Через точку А до окружности i3 центром О проведено дотичнi AM i AK, M i К - точки дотику. Точка перетину відрізка ОА з колом є серединою цього відрізка. Знайдіть кут МАК
Дано: окружность с центром в точке О. AM i АК - касательные (А вне круга).
М и К - точки соприкосновения. ОА - пересекает круг в точке N. N - середина ОА.
Найти: ∟MAK.
Решение:
Выполним дополнительные постройки: ОМ i ОК - радиусы.
По свойству касательных к окружности имеем:
ОМ ┴ МА; ОК ┴ АК и МА = АК.
Рассмотрим ΔОМА и ΔОКА - прямоугольные.
ОА - общая сторона; ОМ = ОК - радиусы.
По признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем: ΔОМА = ΔОКА,
отсюда имеем: ∟MAO = ∟KAO.
По аксиомой измерения углов имеем ∟MAK = ∟MAO + ∟KAO = 2∟MAO.
Рассмотрим ΔОМА - прямоугольный.
∟OMA = 90 °; ОМ = ON = R; N - середина ОА; если ON = NA i ON = R, тогда ОА = 2R.
По свойству катета, лежащего напротив угла 30 °, имеем, если ОМ = R
и ОА = 2R, тогда ∟MAO = 30 °. Отсюда имеем ∟MAK = 30 ° • 2 = 60 °.
Biдповидь 60 °.
М и К - точки соприкосновения. ОА - пересекает круг в точке N. N - середина ОА.
Найти: ∟MAK.
Решение:
Выполним дополнительные постройки: ОМ i ОК - радиусы.
По свойству касательных к окружности имеем:
ОМ ┴ МА; ОК ┴ АК и МА = АК.
Рассмотрим ΔОМА и ΔОКА - прямоугольные.
ОА - общая сторона; ОМ = ОК - радиусы.
По признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем: ΔОМА = ΔОКА,
отсюда имеем: ∟MAO = ∟KAO.
По аксиомой измерения углов имеем ∟MAK = ∟MAO + ∟KAO = 2∟MAO.
Рассмотрим ΔОМА - прямоугольный.
∟OMA = 90 °; ОМ = ON = R; N - середина ОА; если ON = NA i ON = R, тогда ОА = 2R.
По свойству катета, лежащего напротив угла 30 °, имеем, если ОМ = R
и ОА = 2R, тогда ∟MAO = 30 °. Отсюда имеем ∟MAK = 30 ° • 2 = 60 °.
Biдповидь 60 °.