5. Посмотрим внимательно на числитель. В нем стоит квадратный трёхчлен относительно , причем ветви соответствующей параболы направлены вверх. Значит, для всех "больших" иксов числитель положителен. Для того, чтобы неравенство не выполнилось при больших иксах, знаменатель должен быть неположительным. Так как синус от корня при возрастании x принимает все значения от -1 до 1, то 4 - a не может быть больше -1, т.е. a >= 5. Отметим, что при таком выборе a знаменатель неположителен всегда, а не только при "больших" x, значит, числитель должен быть как минимум неотрицателен (а может, и строго положителен). Сделаем замену переменной t = sqrt(x - 2), отсюда требование: t^2 - (a + 4)t + 4a + 1 > 0 при всех t > 0 График функции f(t) = t^2 - (a + 4)t + 4a + 1 - парабола, симметричная относительно прямой t = (a + 4)/2. Так как a >= 5, то наименьшее значение f(t) при t >= 0 принимает в вершине. Для того, чтобы все условия были выполнены, достаточно потребовать f((a + 4)/2) >= 0 -3 + 2 a - a^2/4 >= 0 (это же неравенство получится, если выделять полный квадрат или выписывать дискриминант) a^2/4 - 2a + 3 <= 0 2 <= a <= 6 Поскольку a >= 5, то решение - 5 <= a <= 6. Осталось проверить точку a = 6. Непосредственно подставляя a = 6 в неравенство, получаем, что при t = 5 числитель обращается в ноль, и неравенство из условия выполнено. Стало быть, a = 6 - не решение. ответ. 5 <= a < 6.
6.Несложный комбинаторный факт: если разложение некоторого числа на простые множители имеет вид , то у него ровно делителей k делится на 2^2 и 7 и имеет 10 делителей множитель, связанный с двойкой, не меньше трёх и является делителем 10 -> этот множитель 5 -> 10 = 5 * 2 -> л = 2^(5 - 1) * 7^(2 - 1) = 16 * 7 = 112
Отметим, что при таком выборе a знаменатель неположителен всегда, а не только при "больших" x, значит, числитель должен быть как минимум неотрицателен (а может, и строго положителен).
Сделаем замену переменной t = sqrt(x - 2), отсюда требование:
t^2 - (a + 4)t + 4a + 1 > 0 при всех t > 0
График функции f(t) = t^2 - (a + 4)t + 4a + 1 - парабола, симметричная относительно прямой t = (a + 4)/2. Так как a >= 5, то наименьшее значение f(t) при t >= 0 принимает в вершине. Для того, чтобы все условия были выполнены, достаточно потребовать
f((a + 4)/2) >= 0
-3 + 2 a - a^2/4 >= 0 (это же неравенство получится, если выделять полный квадрат или выписывать дискриминант)
a^2/4 - 2a + 3 <= 0
2 <= a <= 6
Поскольку a >= 5, то решение - 5 <= a <= 6.
Осталось проверить точку a = 6. Непосредственно подставляя a = 6 в неравенство, получаем, что при t = 5 числитель обращается в ноль, и неравенство из условия выполнено. Стало быть, a = 6 - не решение.
ответ. 5 <= a < 6.
6.Несложный комбинаторный факт: если разложение некоторого числа на простые множители имеет вид
k делится на 2^2 и 7 и имеет 10 делителей
множитель, связанный с двойкой, не меньше трёх и является делителем 10 -> этот множитель 5 -> 10 = 5 * 2 -> л = 2^(5 - 1) * 7^(2 - 1) = 16 * 7 = 112