Кричалки для 4 отряда
Интересные и весёлые

Дано:
∆АВС - рівнобедрений, АС = СВ, D - середина сторони АС,
F - середина сторони СВ, Е - середина сторони АВ.
Довести: ∆DEF - рівнобедрений.
Доведення:
Розглянемо ∆ADE i ∆BFE.
1) За умовою ∆АВС - рівнобедрений, АС = СВ.
За умовою D - середина відрізка АС, тому AD = DC.
За умовою F середина відрізка СВ, тому CF = FB. Отже, AD = FB.
2) Е - середина відрізка АВ, тому АЕ = ЕВ.
3) ∟A = ∟B (кути при ocновi рівнобедреного трикутника ABC).
∆ADE = ∆BFE (за I ознакою piвності трикутників),
тоді ED = EF (piвні відповідні елементи рівних фігур),
отже, ∆DEF - рівнобедрений. Доведено.

Проведем высоты как показано на рисунке. И рассмотрим треугольник CDF. Это прямоугольный треугольник (т.к. /CFD - прямой).
По теореме о сумме углов треугольника найдем угол FCD
/FCD=180°-90°-45°=45°. Заметим, что /FCD=/FDC. Следовательно, треугольник равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника). Отсюда следует, что FD=FC (по определению равнобедренного треугольника).
Рассмотрим треугольник ABE. /BAE=/FDC=45° (т.к. по условию задачи трапеция равнобедренная).
Аналогично по теореме о сумме углов треугольника получим, что /ABE=180°-90°-45°=45°, а следовательно (аналогично предыдущему треугольнику) треугольник ABE - равнобедренный.
Причем эти треугольники равны (AB=CD, BE=CF и /ABE=/FCD - первый признак равенства)=> AE=FD. Рассмотрим четырехугольник BCFE.
Т.к. BC||EF, BE и FC - высоты, следовательно /BEF=90°=/CFE. /EBC=/BCF=90°. Следовательно четырехугольник BCFE - прямоугольник => BC=EF.
Теперь можем записать:
AD=AE+EF+FD, 5=AE+3+FD, 5=AE+3+AE
2=2*AE => AE=1.
Т.к. AE=BE=1, а BE-высота трапеции, то теперь можем вычислить площадь трапеции.
Sтрапеции=(BC+AD)/2*BE
Sтрапеции=(3+5)/2*1=4.
Ответ: Sтрапеции=4