Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а чёрное — 3 р.

Предположим, что купец купил бы 138 аршин только синего сукна, стоимость которого составляла 5 рублей за аршин. Тогда он истратил бы на эту покупку 138*5 = 690 рублей. Но купец истратил всего 540 рублей, то есть на 150 рублей меньше за счёт покупки синего сукна, которое на 2 рубля дешевле. Таким образом, выигрывая на каждом аршине по 2 рубля, для того чтобы сократить стоимость покупки на 150 рублей, нужно купить 150:2 = 75 аршин чёрного сукна. Остальное сукно в количестве 63 аршин (138 – 75) – синее.

Обычно в таких задачах, чтобы ответить на вопрос, требуется составить систему уравнений и решить ее.
Пусть (x) аршин - было куплено черного сукна;
(y) аршин - было куплено синего сукна;
Зная о том, что купец купил всего 138 аршин черного истин его сукна за 540 руб. и синее сукно стоило 3 руб. за аршин, а черное сукно стоило 3 руб. за аршин, составим и решим систему уравнений:
3x+5y=540,
x+y=138.
x=138-y,
3x+5y=540.
3(138-y)+5y=540
414-3y+5y=540
2y=126
y=63
x=138-63=75
x=75,
y=63.
Следовательно,
75 (аршин) - было куплено черного сукна;
63 (аршин) - было куплено синего сукна.
Ответ: 75 аршин; 63 аршин.