Материальная точка массы m=1 кг движется в горизонтальной плоскости 0ху под действием двух сил F1 и F2. Сила F1 постоянна по направлению и составляет с положительным направлением оси 0х угол α=45о, её модуль равен F1=10-2t2 Н. Сила F2 параллельна оси 0у, её проекция на эту ось равна F2у=5(1-е-t). В начальный момент времени точка находилась в начале координат, а проекции её скорости были равны: v0x=2 м/с, v0y=3 м/с. Найти уравнения движения точки.
Горизонтальное направление (ось 0х):
В этом направлении действует только горизонтальная составляющая силы F1. Найдем ее значение:
F1х = F1 * cosα = (10 - 2t^2) * cos45° = (10 - 2t^2) / √2
Согласно второму закону Ньютона, горизонтальная составляющая силы F1 равна произведению массы на ускорение точки.
F1х = m * ax
Перепишем уравнение, заменив m на 1 кг и ax на aх:
(10 - 2t^2) / √2 = 1 * aх
Теперь, найдем ускорение aх:
aх = (10 - 2t^2) / (1 * √2)
Вертикальное направление (ось 0у):
В этом направлении действует только вертикальная составляющая силы F2, которая равна F2у = 5(1 - е^(-t)).
Согласно второму закону Ньютона, вертикальная составляющая силы F2 равна произведению массы на ускорение точки.
F2у = m * ay
Перепишем уравнение, заменив m на 1 кг и ay на aу:
5(1 - е^(-t)) = 1 * aу
Теперь, найдем ускорение aу:
aу = 5(1 - е^(-t))
Теперь, у нас есть уравнения движения точки в горизонтальном и вертикальном направлениях:
aх = (10 - 2t^2) / (1 * √2)
aу = 5(1 - е^(-t))
Для решения задачи нам нужно найти уравнения движения точки по осям 0х и 0у, а также скорости точки в каждом направлении. Однако, для этого нам нужно решить уравнения движения, найдя функции скорости и координаты.
Приступим к решению. Найдем сначала скорость точки по оси 0у.
Используем второй закон Ньютона и заменим ускорение aу на производную от скорости vу по времени t:
aу = dvу / dt
Теперь, проинтегрируем обе стороны по времени:
∫ (5(1 - е^(-t))) dt = ∫ dvу
Находим интеграл:
5∫(1 - е^(-t)) dt = vу + C
5(t + е^(-t)) + C1 = vу
Где C1 - произвольная константа интегрирования.
Аналогично, найдем скорость точки по оси 0х.
Используем второй закон Ньютона и заменим ускорение aх на производную от скорости vx по времени t:
aх = dvх / dt
Теперь, проинтегрируем обе стороны по времени:
∫ ((10 - 2t^2) / (√2)) dt = ∫ dvх
Находим интеграл:
(10t - (2/3)t^3 √2) / √2 + C = vx
Где C - произвольная константа интегрирования.
Теперь, у нас есть выражения для скорости точки по осям 0х и 0у, и мы можем перейти к нахождению координат точки.
Используем уравнения связи между скоростью, ускорением и координатами:
vx = dx / dt
vy = dy / dt
Теперь, проинтегрируем обе стороны по времени:
∫ dx = ∫ vx dt
∫ dy = ∫ vy dt
Находим интегралы:
x = (10t - (2/3)t^3 √2) / √2 + C2
y = 5(t + е^(-t)) + C3
Где C2 и C3 - произвольные константы интегрирования.
Таким образом, у нас получились уравнения движения точки в горизонтальном и вертикальном направлениях:
x = (10t - (2/3)t^3 √2) / √2 + C2
y = 5(t + е^(-t)) + C3
Эти уравнения описывают полное движение точки в горизонтальной плоскости 0ху под действием сил F1 и F2. Константы C1, C2 и C3 можете быть найдены из начальных условий, которые даны в задаче.