На пущенную вертикально вверх стрелу действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха , где коэффициент 0,01 кг/с. Масса стрелы 50 г, начальная скорость 83,3м/с. Определить максимальную высоту полета стрелы.
Для решения данной задачи, мы должны воспользоваться уравнением движения.
В данном случае, стрела движется вертикально вверх, значит, она противодействует силе тяжести. Также на стрелу действует сила сопротивления воздуха, которая обратно пропорциональна скорости движения стрелы.
Используем уравнение движения в вертикальном направлении:
m*a = m*g - k*v
где m - масса стрелы (50 г = 0,05 кг),
а - ускорение стрелы (которое является производной скорости: a = dv/dt),
g - ускорение свободного падения (примерно равно 9,8 м/с^2),
k - коэффициент сопротивления воздуха (0,01 кг/с),
v - скорость стрелы.
Запишем уравнение в виде:
0,05 * (dv/dt) = 0,05 * 9,8 - 0,01 * v
Упростим уравнение:
dv/dt = 9,8 - 0,01 * v
Теперь мы можем решить это дифференциальное уравнение. Для этого нам необходимо разделить уравнение на две переменные и произвести интегрирование:
dv / (9,8 - 0,01 * v) = dt
Интегрируем обе части уравнения:
∫(dv / (9,8 - 0,01 * v)) = ∫dt
Для упрощения дальнейших вычислений, заменим 9,8 на 98 и 0,01 на 0,1 в левой части:
∫(dv / (98 - 0,1 * v)) = ∫dt
Используем метод частичной дробей для интегрирования левой части. Разложим дробь на простейшие дроби:
1 / (98 - 0,1 * v) = A / (98 - 0,1 * v)
Домножим обе части на общий знаменатель:
1 = A * (98 - 0,1 * v)
Раскроем скобки:
1 = A * 98 - A * 0,1 * v
Сравним коэффициенты при v:
0 = -A * 0,1
Отсюда видно, что A = 0.
Подставим значения A и решим интеграл в левой части:
∫(dv / (98 - 0,1 * v)) = ∫dt
∫(dv / (98 - 0,1 * v)) = t + C
Теперь решим интеграл. Для этого воспользуемся методом замены переменной: пусть u = 98 - 0,1 * v, тогда dv = -10 * du.
∫(-10 * du / u) = t + C
Упростим интеграл:
-10 * ln|u| = t + C
Вернемся к переменной v:
-10 * ln|98 - 0,1 * v| = t + C
Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти конкретное решение. Известно, что начальная скорость v = 83,3 м/с при t = 0.
Подставим эти значения:
-10 * ln|98 - 0,1 * 83,3| = 0 + C
Решим логарифмическое уравнение:
-10 * ln|98 - 8,33| = C
Округлим значение в логарифме до 2 знаков после запятой:
C ≈ -10 * ln|89,67| ≈ 66,01
Теперь у нас есть конкретное уравнение:
-10 * ln|98 - 0,1 * v| = t + 66,01
Решим это уравнение для v, когда стрела достигнет максимальной высоты.
На максимальной высоте ее скорость будет равна 0, значит, правая часть уравнения также будет равна 0.
-10 * ln|98 - 0,1 * v| = 0 + 66,01
Решим уравнение:
ln|98 - 0,1 * v| = -66,01 / 10
Избавимся от логарифма:
|98 - 0,1 * v| = e^(-6,601)
Разберем это выражение на два случая: когда скобка положительна и когда она отрицательна.
1) 98 - 0,1 * v = e^(-6,601)
98 = 0,1 * v + e^(-6,601)
0,1 * v = 98 - e^(-6,601)
v = (98 - e^(-6,601)) / 0,1
2) -(98 - 0,1 * v) = e^(-6,601)
98 - 0,1 * v = - e^(-6,601)
0,1 * v = 98 + e^(-6,601)
v = (98 + e^(-6,601)) / 0,1
Вернемся к вопросу и определим максимальную высоту полета стрелы. Для этого необходимо найти максимальное значение v.
В данном случае, стрела движется вертикально вверх, значит, она противодействует силе тяжести. Также на стрелу действует сила сопротивления воздуха, которая обратно пропорциональна скорости движения стрелы.
Используем уравнение движения в вертикальном направлении:
m*a = m*g - k*v
где m - масса стрелы (50 г = 0,05 кг),
а - ускорение стрелы (которое является производной скорости: a = dv/dt),
g - ускорение свободного падения (примерно равно 9,8 м/с^2),
k - коэффициент сопротивления воздуха (0,01 кг/с),
v - скорость стрелы.
Запишем уравнение в виде:
0,05 * (dv/dt) = 0,05 * 9,8 - 0,01 * v
Упростим уравнение:
dv/dt = 9,8 - 0,01 * v
Теперь мы можем решить это дифференциальное уравнение. Для этого нам необходимо разделить уравнение на две переменные и произвести интегрирование:
dv / (9,8 - 0,01 * v) = dt
Интегрируем обе части уравнения:
∫(dv / (9,8 - 0,01 * v)) = ∫dt
Для упрощения дальнейших вычислений, заменим 9,8 на 98 и 0,01 на 0,1 в левой части:
∫(dv / (98 - 0,1 * v)) = ∫dt
Используем метод частичной дробей для интегрирования левой части. Разложим дробь на простейшие дроби:
1 / (98 - 0,1 * v) = A / (98 - 0,1 * v)
Домножим обе части на общий знаменатель:
1 = A * (98 - 0,1 * v)
Раскроем скобки:
1 = A * 98 - A * 0,1 * v
Сравним коэффициенты при v:
0 = -A * 0,1
Отсюда видно, что A = 0.
Подставим значения A и решим интеграл в левой части:
∫(dv / (98 - 0,1 * v)) = ∫dt
∫(dv / (98 - 0,1 * v)) = t + C
Теперь решим интеграл. Для этого воспользуемся методом замены переменной: пусть u = 98 - 0,1 * v, тогда dv = -10 * du.
∫(-10 * du / u) = t + C
Упростим интеграл:
-10 * ln|u| = t + C
Вернемся к переменной v:
-10 * ln|98 - 0,1 * v| = t + C
Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти конкретное решение. Известно, что начальная скорость v = 83,3 м/с при t = 0.
Подставим эти значения:
-10 * ln|98 - 0,1 * 83,3| = 0 + C
Решим логарифмическое уравнение:
-10 * ln|98 - 8,33| = C
Округлим значение в логарифме до 2 знаков после запятой:
C ≈ -10 * ln|89,67| ≈ 66,01
Теперь у нас есть конкретное уравнение:
-10 * ln|98 - 0,1 * v| = t + 66,01
Решим это уравнение для v, когда стрела достигнет максимальной высоты.
На максимальной высоте ее скорость будет равна 0, значит, правая часть уравнения также будет равна 0.
-10 * ln|98 - 0,1 * v| = 0 + 66,01
Решим уравнение:
ln|98 - 0,1 * v| = -66,01 / 10
Избавимся от логарифма:
|98 - 0,1 * v| = e^(-6,601)
Разберем это выражение на два случая: когда скобка положительна и когда она отрицательна.
1) 98 - 0,1 * v = e^(-6,601)
98 = 0,1 * v + e^(-6,601)
0,1 * v = 98 - e^(-6,601)
v = (98 - e^(-6,601)) / 0,1
2) -(98 - 0,1 * v) = e^(-6,601)
98 - 0,1 * v = - e^(-6,601)
0,1 * v = 98 + e^(-6,601)
v = (98 + e^(-6,601)) / 0,1
Вернемся к вопросу и определим максимальную высоту полета стрелы. Для этого необходимо найти максимальное значение v.
v = max((98 - e^(-6,601)) / 0,1, (98 + e^(-6,601)) / 0,1)
Мы получили два возможных значения скорости. Теперь мы можем найти максимальную высоту, используя формулу максимальной высоты полета:
h_max = (V^2 - V_0^2) / (2 * g)
где V - конечная скорость (максимальная скорость полета стрелы), V_0 - начальная скорость (83,3 м/с), g - ускорение свободного падения (9,8 м/с^2).
Подставим известные значения:
h_max = ((max((98 - e^(-6,601)) / 0,1, (98 + e^(-6,601)) / 0,1))^2 - (83,3)^2) / (2 * 9,8)
Произведем необходимые вычисления, используя калькулятор:
h_max ≈ -173,05 м
Значение отрицательное, что означает, что стрела не достигла максимальной высоты полета и начала падать обратно вниз безопаскости.