Решение.
Введем в расмотрение случайные величины
Y1=X1X1+X2+…+Xn, Y2=X2X1+X2+…+Xn, …,Yn=XnX1+X2+…+Xn. *
Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины Yi также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:
MY1=MY2=…=MYn. **
Легко видеть, что Y1+Y2+…+Yn=1, следовательно,
M(Y1+Y2+…+Yn)=M1=1.
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому
MY1+MY2+…+MYn=1.
В силу (**) имеем nM(Y1)=1. Отсюда M(Y1)=1/n.
Учитывая (*), окончательно получим
MX1X1+X2+…+Xn=1n.
Что и требовалось доказать.
Решение:
Случайная величина X—число стандартных деталей среди отобранных деталей—имеет следующие возможные значения: X1=0; X2=1; X3=2; Найдем вероятности возможных значений X по Формуле: PX=k= Cnk*CN-nm-kCNm.
(N—число деталей в партии, n— число стандартных деталей в партии, m— число отобранных деталей, k— число стандартных деталей среди отобранных), находим:
PX=0=C80*C22C102=145;
PX=1=C81*C21C102=1645;
PX=2=C82*C20C102=2845;
Составим искомый закон распределения:
X 0 1 2
P 1/45 16/45 28/45
Контроль: 145+1645+2845=1.
Введем в расмотрение случайные величины
Y1=X1X1+X2+…+Xn, Y2=X2X1+X2+…+Xn, …,Yn=XnX1+X2+…+Xn. *
Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины Yi также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:
MY1=MY2=…=MYn. **
Легко видеть, что Y1+Y2+…+Yn=1, следовательно,
M(Y1+Y2+…+Yn)=M1=1.
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому
MY1+MY2+…+MYn=1.
В силу (**) имеем nM(Y1)=1. Отсюда M(Y1)=1/n.
Учитывая (*), окончательно получим
MX1X1+X2+…+Xn=1n.
Что и требовалось доказать.
Случайная величина X—число стандартных деталей среди отобранных деталей—имеет следующие возможные значения: X1=0; X2=1; X3=2; Найдем вероятности возможных значений X по Формуле: PX=k= Cnk*CN-nm-kCNm.
(N—число деталей в партии, n— число стандартных деталей в партии, m— число отобранных деталей, k— число стандартных деталей среди отобранных), находим:
PX=0=C80*C22C102=145;
PX=1=C81*C21C102=1645;
PX=2=C82*C20C102=2845;
Составим искомый закон распределения:
X 0 1 2
P 1/45 16/45 28/45
Контроль: 145+1645+2845=1.