Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т.е. выполняются условия:
α≠
π
2
+πk,β≠
π
2
+πnk,n
∈ℤ
,
α+β≠
π
2
+πm,m∈ℤ
для формулы (1),
α−β≠
π
2
+πm,m∈ℤ
для формулы (2),
Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике - особенно, в радиотехнике.
Вывод формул естественным образом получается из определения функции тангенс и использования уже известных формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов.
Докажем формулу тангенса суммы аргументов. Имеем:
tg(α+β)=
sin(α+β)
cos(α+β)
=
sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на
cosα⋅cosβ
,
учитывая, что значение дроби от этого не изменится и, что
cosα⋅cosβ≠0
из принятых выше условий
для допустимых значений аргументов, т.е.
α≠
π
2
+πk,β≠
π
2
+πnk,n
∈ℤ
. Тогда:
tg(α+β)=
sin(α+β)
cos(α+β)
=
sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
=
sinα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
+
cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
−
sinα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
=
tgα+tgβ
1−tgα⋅tgβ
,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается формула тангенса разности аргументов :
1. а) -2 1/3х<-2
-7/3х<-2
-7х<-6
х<6/7
(-бесконечности;6/7)
б)⅓x-1/6≥1/6
⅓x≥1/6+1/6
⅓x≥1/3
х≥1
[1;+бесконечности]
2.а)1/6x-4<0,5
1/6х<4,5
1/6х<4 1/2
1/6х<9/2
2х<54
х<27
(-бесконечности;27)
б)4-2x<1/2
-2х<1/2-4
-2х<-3 1/2
-2х<-7/2
4х<7
х<7/4
х<1 3/4
(-бесконечности;1 3/4)
в)3x+2/3≥-2/3
3х≥-4/3
9х≥-4
х≥-4/9
[-4/9;+бесконечности]
ответ:1; 2;0;-1;-2 все
3. а) 5-3x < 8.
-3х<8-5
х<-1
(-бесконечности;-1)
б)Значения выражения 21-3x отрицательны.
в) 2x-1 < -1-1,2x.
3,2х<0
х<0
(-бесконечности;0)
г) 1,5x-11 > 0,5x+2.
х>13
(13;+бесконечности)
2) ответ: -1; 0.&
тангенса суммы аргументов :
tg(α+β)=
tgα+tgβ
1−tgα⋅tgβ
(1)
тангенса разности аргументов :
tg(α−β)=
tgα−tgβ
1+tgα⋅tgβ
(2)
Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т.е. выполняются условия:
α≠
π
2
+πk,β≠
π
2
+πnk,n
∈ℤ
,
α+β≠
π
2
+πm,m∈ℤ
для формулы (1),
α−β≠
π
2
+πm,m∈ℤ
для формулы (2),
Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике - особенно, в радиотехнике.
Вывод формул естественным образом получается из определения функции тангенс и использования уже известных формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов.
Докажем формулу тангенса суммы аргументов. Имеем:
tg(α+β)=
sin(α+β)
cos(α+β)
=
sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на
cosα⋅cosβ
,
учитывая, что значение дроби от этого не изменится и, что
cosα⋅cosβ≠0
из принятых выше условий
для допустимых значений аргументов, т.е.
α≠
π
2
+πk,β≠
π
2
+πnk,n
∈ℤ
. Тогда:
tg(α+β)=
sin(α+β)
cos(α+β)
=
sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
=
sinα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
+
cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
−
sinα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
=
tgα+tgβ
1−tgα⋅tgβ
,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается формула тангенса разности аргументов :
tg(α−β)=
sin(α−β)
cos(α−β)
=
sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
=
sinα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
−
cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
+
sinα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
=
tgα−tgβ
1+tgα⋅tgβ
.