Оноре де Бальзак “Гобсек”
Які деталі портрета Гобсека є визначальними?

Дано: ∟AOE - прямой (∟АОЕ = 90 °). ОС проходит между сторонами ∟АОЕ.
ОВ - биссектриса ∟АОС, OD - бвсектриса ∟СОЕ. Доказать: ∟BOD = 45 °.
Доведения:
ОВ - бвсектриса ∟AOC. По означением биссектрисы угла имеем:
∟АОВ = ∟ВОС = 1 / 2∟АОС, тогда ∟АОС = 2∟ВОС.
Аналогично, ∟COD = ∟DOE = 1 / 2∟СОЕ, тогда ∟СОЕ = 2∟COD.
По аксиомой измерения углов имеем:
∟AOE = ∟AOC + ∟COE.
2∟BOC + 2∟COD = 90 °, 2 (∟BOC + ∟COD) = 90 °, ∟BOC + ∟COD = 90 °,
2∟BOC + ∟COD = 45 °. ∟BOC + ∟COD = ∟BOD (по аксиомой вимирюван-
ния углов). ∟BOD = 45 °. Доказано.

Доказательство:
Пусть дано ΔАВС i ΔА 1 В 1 С 1 по условию ∟A = ∟A 1 ,
AK i А 1 К 1 - биссектрисы углов А и А 1 соответственно, AK = А 1 К 1 , ∟AKB = ∟A 1 K 1 B 1 .
Докажем, что ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1 .
Рассмотрим ΔАВК i ΔА 1 В 1 К 1 .
1) АК = А 1 К 1 (по условию)
2) ∟AKB = ∟А 1 К 1 В 1 (по условию)
3) ∟ВАК = ∟B 1 A 1 K 1 (половины равных углов).
Итак, ΔАВК = ΔА 1 В 1 К 1 за II признаку.
Рассмотрим ΔАВС i Δ А 1 В 1 С 1 .
1) АВ = А 1 В 1 (т. К. ΔАВК = ΔA 1 В 1 K 1 )
2) ∟BAC = ∟B 1 A 1 C 1 (по условию)
3) ∟ABC = ∟ А 1 В 1 С 1 (т. К. ΔАВК = ΔА 1 В 1 К 1 ).
Итак, ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1 по II признаку.