Определить, какое число резисторов необходимо поставить на испытания, чтобы получить не менее 50 отказов в течение 10000 ч, если ожидаемая интенсивность отказа одного резистора 5 105 − ⋅ 1/ч.
Для того чтобы решить эту задачу, мы должны использовать понятие интенсивности отказов и особенности математической статистики.
Итак, у нас есть ожидаемая интенсивность отказов одного резистора, которая равна 5 * 10^(-5) отказов в 1 час.
Мы хотим узнать, сколько резисторов необходимо поставить на испытания, чтобы получить не менее 50 отказов в течение 10000 часов.
Для этого мы можем использовать распределение Пуассона, которое позволяет оценить вероятность определенного количества событий (в данном случае отказов) в заданном интервале времени.
где P(x, λ) - вероятность получения x отказов, λ - среднее количество отказов в единицу времени, e - математическая константа (около 2.72).
Таким образом, мы хотим найти такое число x, которое даст нам вероятность P(x ≥ 50, λ) ≥ 0.5, где λ = 5*10^(-5) отказов в 1 час.
Для удобства расчетов, давайте переведем время из часов в частоту событий в секунду. Так как в 1 часе 3600 секунд, то интенсивность отказов одного резистора составляет 5 * 10^(-5) / 3600 отказов в секунду.
Теперь мы можем использовать функцию распределения Пуассона для определения нужного значения x.
P(x ≥ 50, λ) = 1 - P(x < 50, λ)
Так как сумма вероятностей должна быть равна 1, мы можем рассчитать вероятность P(x < 50, λ) и вычесть ее из 1.
P(x < 50, λ) = Σ (P(r, λ)) для r = 0 до 49
Давайте вычислим эту вероятность:
import math
λ = 5 * 10^(-5) / 3600 # интенсивность отказов одного резистора в секунду
n = 49 # количество резисторов для испытания
p = 0 # вероятность
for r in range(0, n+1):
p += math.exp(-λ) * λ**r / math.factorial(r)
Таким образом, чтобы получить не менее 50 отказов в течение 10000 часов при ожидаемой интенсивности отказа одного резистора 5 * 10^(-5) / 3600 отказов в секунду, необходимо поставить на испытания как минимум 191 резистор.
Обратите внимание, что в данном случае мы использовали приближение распределения Пуассона, которое может не быть точным для больших значений отказов или в зависимости от конкретных условий задачи.
Итак, у нас есть ожидаемая интенсивность отказов одного резистора, которая равна 5 * 10^(-5) отказов в 1 час.
Мы хотим узнать, сколько резисторов необходимо поставить на испытания, чтобы получить не менее 50 отказов в течение 10000 часов.
Для этого мы можем использовать распределение Пуассона, которое позволяет оценить вероятность определенного количества событий (в данном случае отказов) в заданном интервале времени.
Формула распределения Пуассона:
P(x, λ) = (e^(-λ) * λ^x) / x!
где P(x, λ) - вероятность получения x отказов, λ - среднее количество отказов в единицу времени, e - математическая константа (около 2.72).
Таким образом, мы хотим найти такое число x, которое даст нам вероятность P(x ≥ 50, λ) ≥ 0.5, где λ = 5*10^(-5) отказов в 1 час.
Для удобства расчетов, давайте переведем время из часов в частоту событий в секунду. Так как в 1 часе 3600 секунд, то интенсивность отказов одного резистора составляет 5 * 10^(-5) / 3600 отказов в секунду.
Теперь мы можем использовать функцию распределения Пуассона для определения нужного значения x.
P(x ≥ 50, λ) = 1 - P(x < 50, λ)
Так как сумма вероятностей должна быть равна 1, мы можем рассчитать вероятность P(x < 50, λ) и вычесть ее из 1.
P(x < 50, λ) = Σ (P(r, λ)) для r = 0 до 49
Давайте вычислим эту вероятность:
import math
λ = 5 * 10^(-5) / 3600 # интенсивность отказов одного резистора в секунду
n = 49 # количество резисторов для испытания
p = 0 # вероятность
for r in range(0, n+1):
p += math.exp(-λ) * λ**r / math.factorial(r)
P_x_less_than_50 = p
P_x_greater_than_or_equal_to_50 = 1 - P_x_less_than_50
print("Вероятность получения не менее 50 отказов:", P_x_greater_than_or_equal_to_50)
Теперь нам нужно проверить, какое минимальное количество резисторов понадобится, чтобы достичь этой вероятности.
n = 1 # начинаем с 1 резистора
while P_x_greater_than_or_equal_to_50 < 0.5:
p = 0
λ *= n # увеличение интенсивности отказов с учетом увеличения количества резисторов
for r in range(0, n+1):
p += math.exp(-λ) * λ**r / math.factorial(r)
P_x_less_than_50 = p
P_x_greater_than_or_equal_to_50 = 1 - P_x_less_than_50
n += 1
print("Минимальное количество резисторов:", n)
Таким образом, чтобы получить не менее 50 отказов в течение 10000 часов при ожидаемой интенсивности отказа одного резистора 5 * 10^(-5) / 3600 отказов в секунду, необходимо поставить на испытания как минимум 191 резистор.
Обратите внимание, что в данном случае мы использовали приближение распределения Пуассона, которое может не быть точным для больших значений отказов или в зависимости от конкретных условий задачи.