Решение.
Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны:
Р1 = 0,7, р2 = 0,8, р3 = 0,9,
Поэтому вероятности того, что элементы откажут, q1 = 0,3; q2 = 0,2; q3=0,1.
Составим производящую функцию:
?3(z) = (p1?z + q1) (p2?z + q2) (p3?z + q3) = (0,7z + 0,3)(0,8z + 0,2)(0,9z + 0,1) = 0,504z3 + 0,398z2 + 0,092z + 0,006.
А) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z3: Р3(3) = 0,504.
Б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z2: Р3(2) = 0,398.
В) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при z1: Р3(1) = 0,092.
Г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену: Р3(0) = 0,006.
Контроль: 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.
Решение.
Из формулы (*) видно, что вероятность появления k событий за время длительностью t, при заданной интенсивности ?, является функцией только k и t, что отражает свойство стационарности простейшего потока.
Формула (*) не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка времени, что отражает свойство отсутствия последействия.
Покажем, что формула отражает свойство ординарности. Положив k=0 и k=1, найдем вероятность непоявления событий и вероятность появления одного события:
Pt(0)= e-?t, Pt(1)= ?te-?t.
Следовательно, вероятность появления более одного события
Pt(k>1)=1-[ Pt(0)+ Pt(1)]=1-[e-?t+ ?te-?t]
Используя разложение функции e-?t в ряд Маклорена, после элементарных преобразований получим
Pt(k>1)=(?t)2/2+… .
Сравнивая Pt (1) и Pt(k>1), получаем, что при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что отражает свойство ординарности.
Ч. Т. Д.
Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны:
Р1 = 0,7, р2 = 0,8, р3 = 0,9,
Поэтому вероятности того, что элементы откажут, q1 = 0,3; q2 = 0,2; q3=0,1.
Составим производящую функцию:
?3(z) = (p1?z + q1) (p2?z + q2) (p3?z + q3) = (0,7z + 0,3)(0,8z + 0,2)(0,9z + 0,1) = 0,504z3 + 0,398z2 + 0,092z + 0,006.
А) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z3: Р3(3) = 0,504.
Б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z2: Р3(2) = 0,398.
В) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при z1: Р3(1) = 0,092.
Г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену: Р3(0) = 0,006.
Контроль: 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.
Из формулы (*) видно, что вероятность появления k событий за время длительностью t, при заданной интенсивности ?, является функцией только k и t, что отражает свойство стационарности простейшего потока.
Формула (*) не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка времени, что отражает свойство отсутствия последействия.
Покажем, что формула отражает свойство ординарности. Положив k=0 и k=1, найдем вероятность непоявления событий и вероятность появления одного события:
Pt(0)= e-?t, Pt(1)= ?te-?t.
Следовательно, вероятность появления более одного события
Pt(k>1)=1-[ Pt(0)+ Pt(1)]=1-[e-?t+ ?te-?t]
Используя разложение функции e-?t в ряд Маклорена, после элементарных преобразований получим
Pt(k>1)=(?t)2/2+… .
Сравнивая Pt (1) и Pt(k>1), получаем, что при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что отражает свойство ординарности.
Ч. Т. Д.