По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование. Xвх = 25 кПа; Y = 7,5 ; t зап = 0,5 мин
t, мин 0 0.5 2 4 6 8 10 12 14
у 0 0 0,3 0,9 2,3 4 4,9 5,6 6,1
Для начала построим переходную кривую объекта. Для этого нам даны значения времени (t) и выходной величины (у). Для удобства воспользуемся графическим методом.
1. Строим график, где по оси абсцисс отложены значения времени (t), а по оси ординат – выходные значения (у).
2. По точкам, полученным из таблицы, проводим гладкую кривую, соединяющую эти точки.
Теперь определим параметры передаточной функции объекта. Мы знаем, что передаточная функция объекта имеет вид:
G(s) = K * exp(-T * s) / (s * (T1 * s + 1) * (T2 * s + 1) * ... * (Tn * s + 1)),
где K - коэффициент усиления, T - время инерции, T1, T2, ..., Tn - постоянные времени.
1. По полученной переходной кривой определяем время инерции T. Это время, за которое процесс устанавливается на 63,2% от своего установившегося значения (установившегося значения равно 6,1).
6,1 * (1 - 0,632) = 6,1 * 0,368 = 2,25 (уровень на графике)
Находим значение времени t соответствующее уровню 2,25 (t = 8 минут)
T = t/ln(2) = 8/ln(2) ≈ 11,47 минут
2. Определяем коэффициент усиления К. Это отношение установившегося значения к управляющему воздействию. Из условия у = 6,1 при xвх = 25 кПа, находим усиление K:
K = установившееся значение / xвх = 6,1 / 25 ≈ 0,244
3. Определяем постоянные времени T1, T2 и т.д. Методом сперва определяем общее значение постоянной времени T0:
T0 = T / √(2) ≈ 11,47 / √(2) ≈ 8,11 минут
Затем находим значение постоянной времени Ti, умножая T0 на соответствующий коэффициент:
T1 = 0,5 * T0 ≈ 0,5 * 8,11 ≈ 4,06 минут
T2 = 2 * T0 ≈ 2 * 8,11 ≈ 16,22 минут
Теперь мы можем рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование. Для этого применим формулы для настройки ПИД-регулятора по методу Чебышева:
1. Коэффициент усиления Kp:
Kp = (1.2 * T0) / (K * τ)
2. Интегральная составляющая Ki:
Ki = (2 * K) / (T0 * τ)
3. Дифференциальная составляющая Kd:
Kd = (0.48 * T0 * τ) / K,
где T0 - общая постоянная времени объекта, K - коэффициент усиления объекта, а τ - желаемое время перерегулирования.
Подставляем значения и рассчитываем настройки ПИД-регулятора:
1. τ = 0.2 * T = 0.2 * 11,47 ≈ 2,29 минут
2. Kp = (1.2 * 8.11) / (0.244 * 2.29) ≈ 4.06
3. Ki = (2 * 0.244) / (8.11 * 2.29) ≈ 0.053
4. Kd = (0.48 * 8.11 * 2.29) / 0.244 ≈ 11.34
Таким образом, настройки ПИД-регулятора для обеспечения 20%-го перерегулирования при данных значениях составляют:
Kp ≈ 4.06, Ki ≈ 0.053, Kd ≈ 11.34.
Надеюсь, данное решение предоставило вам всю необходимую информацию. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.