Чтобы найти длину хорды, которая отсекается окружностью от прямой, нам нужно рассмотреть, как прямая и окружность пересекаются и какую хорду они образуют.
Давайте начнем с того, что найдем точки пересечения прямой и окружности. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности.
Уравнение прямой дано в виде у + 2х - 4 = 0. Чтобы найти точки пересечения, подставим это уравнение в уравнение окружности:
(х - 4)² + (у - 2)² = 16.
Заменим у на -(2х - 4), и получим:
(х - 4)² + (-(2х - 4) - 2)² = 16.
Раскроем скобки:
(х - 4)² + (-2х + 2 - 2)² = 16.
Упростим:
(х - 4)² + (-2х)² = 16.
Раскроем квадраты:
х² - 8х + 16 + 4х² = 16.
Соберем все члены уравнения:
5х² - 8х = 0.
Факторизуя это уравнение, получаем:
х(5х - 8) = 0.
Отсюда видно, что х = 0 или х = 8/5.
Подставим найденные значения х в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения у:
- Если х = 0, то у + 2(0) - 4 = 0, откуда у = 4.
- Если х = 8/5, то у + 2(8/5) - 4 = 0. Воспользуемся десятичным представлением 8/5, которое равно 1.6. Подставим это значение:
у + 2(1.6) - 4 = 0,
у + 3.2 - 4 = 0,
у - 0.8 = 0,
у = 0.8.
Итак, мы получили две точки пересечения прямой и окружности: (0, 4) и (8/5, 0.8).
Теперь давайте найдем расстояние между этими двумя точками, чтобы найти длину хорды. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²),
где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек.
Подставим координаты точек (0, 4) и (8/5, 0.8) в эту формулу:
d = √((8/5 - 0)² + (0.8 - 4)²).
Раскроем скобки:
d = √((64/25) + (3.6)²).
d = √(64/25 + 12.96).
d = √(64/25 + 12.96).
d = √(384/25).
Теперь возведем в квадрат числитель и знаменатель дроби:
d = √((16²⋅4/25⋅4)).
d = √(256/25).
d = 16/5.
Итак, длина хорды, которую отсекает окружность от прямой, равна 16/5, или 3.2.
Надеюсь, ответ был понятен и доступен для понимания. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи!
решение задания по геометрии
Чтобы найти длину хорды, которая отсекается окружностью от прямой, нам нужно рассмотреть, как прямая и окружность пересекаются и какую хорду они образуют.
Давайте начнем с того, что найдем точки пересечения прямой и окружности. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности.
Уравнение прямой дано в виде у + 2х - 4 = 0. Чтобы найти точки пересечения, подставим это уравнение в уравнение окружности:
(х - 4)² + (у - 2)² = 16.
Заменим у на -(2х - 4), и получим:
(х - 4)² + (-(2х - 4) - 2)² = 16.
Раскроем скобки:
(х - 4)² + (-2х + 2 - 2)² = 16.
Упростим:
(х - 4)² + (-2х)² = 16.
Раскроем квадраты:
х² - 8х + 16 + 4х² = 16.
Соберем все члены уравнения:
5х² - 8х = 0.
Факторизуя это уравнение, получаем:
х(5х - 8) = 0.
Отсюда видно, что х = 0 или х = 8/5.
Подставим найденные значения х в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения у:
- Если х = 0, то у + 2(0) - 4 = 0, откуда у = 4.
- Если х = 8/5, то у + 2(8/5) - 4 = 0. Воспользуемся десятичным представлением 8/5, которое равно 1.6. Подставим это значение:
у + 2(1.6) - 4 = 0,
у + 3.2 - 4 = 0,
у - 0.8 = 0,
у = 0.8.
Итак, мы получили две точки пересечения прямой и окружности: (0, 4) и (8/5, 0.8).
Теперь давайте найдем расстояние между этими двумя точками, чтобы найти длину хорды. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²),
где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек.
Подставим координаты точек (0, 4) и (8/5, 0.8) в эту формулу:
d = √((8/5 - 0)² + (0.8 - 4)²).
Раскроем скобки:
d = √((64/25) + (3.6)²).
d = √(64/25 + 12.96).
d = √(64/25 + 12.96).
d = √(384/25).
Теперь возведем в квадрат числитель и знаменатель дроби:
d = √((16²⋅4/25⋅4)).
d = √(256/25).
d = 16/5.
Итак, длина хорды, которую отсекает окружность от прямой, равна 16/5, или 3.2.
Надеюсь, ответ был понятен и доступен для понимания. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи!