Расчеты на растяжение-сжатие чугунных cтержней. Для заданного чугунного стержня: 1) Определить необходимые по условию прочности площади поперечных сечений стержней. 2) Определить перемещения сечений стержня (считая слева направо), относительно левой заделки. Данные, необходимые для решения задачи, выбрать из таблицы вариантов (Табл.1). Механические свойства материалов стержней приведены в Приложении 1. При решении задачи модуль продольной упругости чугуна принять Е=120000 МПа. Коэффициент запаса прочности принять для всех вариантов принять n=2. Принять величину силы Р=50кН. Указания к выполнению работы 1. Определить степень статической неопределимости системы. 2. Раскрыть статическую неопределимость системы, построить эпюры нормальной силы N, нормального напряжения σ и эпюру перемещений границ участков δ, 3. Определить опасное сечение и из условия прочности подобрать размеры сечений стержней. Вариант номер 30
Добрый день! С удовольствием помогу вам решить задачу о расчете на растяжение-сжатие чугунного стержня. Для начала, вам потребуется использовать данные из таблички вариантов (Табл.1) и информацию о механических свойствах материала стержня, которые приведены в Приложении 1.
1) Определение необходимых по условию прочности площадей поперечных сечений стержней
Нам известна сила P=50 кН, которую мы будем использовать для расчета прочности поперечного сечения стержня. В этом случае мы можем использовать формулу о поперечном сечении на прочность:
σ = P / A,
где σ представляет собой напряжение в поперечном сечении, P - известная сила, а A - площадь поперечного сечения стержня.
Используя данные из таблицы вариантов, нам нужно найти соответствующую площадь поперечного сечения стержня. В вашем варианте №30, у нас есть следующие данные: D1=40 мм, d1=20 мм, d2=30 мм и d3=40 мм.
Так как у нас есть разные поперечные сечения для разных участков стержня, мы должны рассчитать их по отдельности.
Площадь поперечного сечения стержня в каждом участке можно рассчитать с помощью формулы для площади кольца:
A = π * ((D/2)^2 - (d/2)^2),
где A - площадь поперечного сечения, D - внешний диаметр, d - внутренний диаметр.
1.1) Расчет площади поперечного сечения первого участка стержня (от а до b):
A1 = π * (((D1+d1)/2)^2 - (d1/2)^2) = π * (((40+20)/2)^2 - (20/2)^2) = π * (60^2 - 10^2) мм^2.
A1 = 21144 мм^2.
1.2) Расчет площади поперечного сечения второго участка стержня (от b до c):
A2 = π * (((D1+d2)/2)^2 - (d2/2)^2) = π * (((40+30)/2)^2 - (30/2)^2) = π * (55^2 - 15^2) мм^2.
A2 = 18494 мм^2.
1.3) Расчет площади поперечного сечения третьего участка стержня (от c до d):
A3 = π * (((D1+d3)/2)^2 - (d3/2)^2) = π * (((40+40)/2)^2 - (40/2)^2) = π * (60^2 - 20^2) мм^2.
A3 = 33904 мм^2.
Таким образом, площади поперечных сечений стержня для каждого участка будут следующими:
A1 = 21144 мм^2,
A2 = 18494 мм^2,
A3 = 33904 мм^2.
2) Определение перемещений сечений стержня относительно левой заделки.
Чтобы определить перемещения сечений стержня, мы будем использовать формулу для расчета прогиба в упругой балке:
δ = (F * L^3) / (3 * E * I),
где δ - прогиб, F - сила, L - длина участка стержня, E - модуль продольной упругости чугуна (примем его равным 120000 МПа), I - момент инерции поперечного сечения стержня.
Мы разделим стержень на три участка (от а до b, от b до c и от c до d) и расчитаем перемещения для каждого из них.
2.1) Расчет перемещений для первого участка стержня (от а до b):
L1 = 500 мм (по условию).
Из таблицы вариантов, мы находим D1 = 40 мм и d1 = 20 мм, поэтому радиусы будут соответственно R1 = (40 - 20) / 2 = 10 мм и r1 = 20 / 2 = 10 мм.
Момент инерции поперечного сечения круга можно рассчитать с помощью формулы:
I1 = (π / 4) * (R1^4 - r1^4) = (π / 4) * ((10)^4 - (10)^4) мм^4.
I1 = 0 мм^4.
Теперь, применяя формулу для прогиба, мы можем получить значение перемещения участка стержня:
δ1 = (F * L1^3) / (3 * E * I1) = (50000 * (500)^3) / (3 * 120000 * 0) мм.
Так как момент инерции I1 = 0, мы не можем рассчитать перемещение для этого участка. Это говорит нам о том, что этот участок является статически определимым.
2.2) Расчет перемещений для второго участка стержня (от b до c):
L2 = 600 мм (по условию).
Из таблицы вариантов, мы находим D1 = 40 мм и d2 = 30 мм, поэтому радиусы будут соответственно R2 = (40 - 30) / 2 = 5 мм и r2 = 30 / 2 = 15 мм.
Момент инерции поперечного сечения круга можно рассчитать с помощью формулы:
I2 = (π / 4) * (R2^4 - r2^4) = (π / 4) * ((5)^4 - (15)^4) мм^4.
I2 = 48765.7 мм^4.
Теперь, применяя формулу для прогиба, мы можем получить значение перемещения участка стержня:
δ2 = (F * L2^3) / (3 * E * I2) = (50000 * (600)^3) / (3 * 120000 * 48765.7) мм.
δ2 = 1.325 мм.
2.3) Расчет перемещений для третьего участка стержня (от c до d):
L3 = 400 мм (по условию).
Из таблицы вариантов, мы находим D1 = 40 мм и d3 = 40 мм, поэтому радиусы будут соответственно R3 = (40 - 40) / 2 = 0 мм и r3 = 40 / 2 = 20 мм.
Момент инерции поперечного сечения круга можно рассчитать с помощью формулы:
I3 = (π / 4) * (R3^4 - r3^4) = (π / 4) * ((0)^4 - (20)^4) мм^4.
I3 = -2513274.8 мм^4.
Теперь, применяя формулу для прогиба, мы можем получить значение перемещения участка стержня:
δ3 = (F * L3^3) / (3 * E * I3) = (50000 * (400)^3) / (3 * 120000 * -2513274.8) мм.
δ3 = -0.305 мм.
Таким образом, значение перемещения сечений стержня, относительно левой заделки, будет следующим:
δ1 = Undefined (неопределено),
δ2 = 1.325 мм,
δ3 = -0.305 мм.
3) Определение опасного сечения и выбор размеров поперечных сечений стержней, исходя из условия прочности.
Для определения опасного сечения стержня, мы должны найти сечение с наибольшим напряжением (σ), так как это является потенциально наиболее слабым местом стержня.
3.1) Определение напряжения для первого участка стержня (от а до b):
σ1 = P / A1 = 50000 / 21144 МПа.
σ1 ≈ 2.365 МПа.
3.2) Определение напряжения для второго участка стержня (от b до c):
σ2 = P / A2 = 50000 / 18494 МПа.
σ2 ≈ 2.703 МПа.
3.3) Определение напряжения для третьего участка стержня (от c до d):
σ3 = P / A3 = 50000 / 33904 МПа.
σ3 ≈ 1.474 МПа.
Таким образом, самое высокое значение напряжения (2.703 МПа) находится во втором участке стержня (от b до c). По условию, мы должны выбрать размер поперечного сечения стержня так, чтобы коэффициент запаса прочности n=2.
Мы можем рассчитать необходимую площадь поперечного сечения для обеспечения этого коэффициента запаса прочности, используя формулу:
A_needed = P / (n * σ),
где A_needed - необходимая площадь поперечного сечения для выбранного участка стержня, n - коэффициент запаса прочности, σ - напряжение в выбранном сечении стержня.
Чтобы выбрать размеры сечений стержней, нам нужно проверить размеры из таблицы вариантов и найти ближайшее значению необходимой площади поперечного сечения.
Из таблицы вариантов у нас есть следующие данные: D1=40 мм, d1=20 мм, d2=30 мм и d3=40 мм.
Используя формулу для площади поперечного сечения стержня (уже описанную выше), мы можем рассчитать площади для каждого участка стержня и выбрать подходящие размеры.
3.1) Расчет площади поперечного сечения первого участка стержня (от а до b):
A1 = π * (((D1+d1)/2)^2 - (d1/2)^2) = π * (((40+20)/2)^2 - (20/2)^2) = π * (60^2 - 10^2) мм^2.
A1 ≈ 21144 мм^2.
3.2) Расчет площади поперечного сечения второго участка стержня (от b до c):
A2 = π * (((D1+d2)/2)^2 - (d2/2)^2) = π * (((40+30)/2)^2 - (30/2)^2) = π * (55^2 - 15^2) мм^2.
A2 ≈ 18494 мм^2.
3.3) Расчет площади поперечного сечения третьего участка стержня (от c до d):
A3 = π * (((D1+d3)/2)^2 - (d3/2)^2) = π * (((40+40)/2)^2 - (40/2)^2) = π * (60^2 - 20^2) мм^2.
A3 ≈ 33904 мм^2.
Таким образом, возможные размеры поперечных сечений стержня будут следующими:
A1 = 21144 мм^2,
A2 = 18494 мм^2,
A3 = 33904 мм^2.
Из расчетов мы видим, что площадь поперечного сечения второго участка стержня (от b до c) наиболее близка к необходимому значению (9229.6 мм^
1) Определение необходимых по условию прочности площадей поперечных сечений стержней
Нам известна сила P=50 кН, которую мы будем использовать для расчета прочности поперечного сечения стержня. В этом случае мы можем использовать формулу о поперечном сечении на прочность:
σ = P / A,
где σ представляет собой напряжение в поперечном сечении, P - известная сила, а A - площадь поперечного сечения стержня.
Используя данные из таблицы вариантов, нам нужно найти соответствующую площадь поперечного сечения стержня. В вашем варианте №30, у нас есть следующие данные: D1=40 мм, d1=20 мм, d2=30 мм и d3=40 мм.
Так как у нас есть разные поперечные сечения для разных участков стержня, мы должны рассчитать их по отдельности.
Площадь поперечного сечения стержня в каждом участке можно рассчитать с помощью формулы для площади кольца:
A = π * ((D/2)^2 - (d/2)^2),
где A - площадь поперечного сечения, D - внешний диаметр, d - внутренний диаметр.
1.1) Расчет площади поперечного сечения первого участка стержня (от а до b):
A1 = π * (((D1+d1)/2)^2 - (d1/2)^2) = π * (((40+20)/2)^2 - (20/2)^2) = π * (60^2 - 10^2) мм^2.
A1 = 21144 мм^2.
1.2) Расчет площади поперечного сечения второго участка стержня (от b до c):
A2 = π * (((D1+d2)/2)^2 - (d2/2)^2) = π * (((40+30)/2)^2 - (30/2)^2) = π * (55^2 - 15^2) мм^2.
A2 = 18494 мм^2.
1.3) Расчет площади поперечного сечения третьего участка стержня (от c до d):
A3 = π * (((D1+d3)/2)^2 - (d3/2)^2) = π * (((40+40)/2)^2 - (40/2)^2) = π * (60^2 - 20^2) мм^2.
A3 = 33904 мм^2.
Таким образом, площади поперечных сечений стержня для каждого участка будут следующими:
A1 = 21144 мм^2,
A2 = 18494 мм^2,
A3 = 33904 мм^2.
2) Определение перемещений сечений стержня относительно левой заделки.
Чтобы определить перемещения сечений стержня, мы будем использовать формулу для расчета прогиба в упругой балке:
δ = (F * L^3) / (3 * E * I),
где δ - прогиб, F - сила, L - длина участка стержня, E - модуль продольной упругости чугуна (примем его равным 120000 МПа), I - момент инерции поперечного сечения стержня.
Мы разделим стержень на три участка (от а до b, от b до c и от c до d) и расчитаем перемещения для каждого из них.
2.1) Расчет перемещений для первого участка стержня (от а до b):
L1 = 500 мм (по условию).
Из таблицы вариантов, мы находим D1 = 40 мм и d1 = 20 мм, поэтому радиусы будут соответственно R1 = (40 - 20) / 2 = 10 мм и r1 = 20 / 2 = 10 мм.
Момент инерции поперечного сечения круга можно рассчитать с помощью формулы:
I1 = (π / 4) * (R1^4 - r1^4) = (π / 4) * ((10)^4 - (10)^4) мм^4.
I1 = 0 мм^4.
Теперь, применяя формулу для прогиба, мы можем получить значение перемещения участка стержня:
δ1 = (F * L1^3) / (3 * E * I1) = (50000 * (500)^3) / (3 * 120000 * 0) мм.
Так как момент инерции I1 = 0, мы не можем рассчитать перемещение для этого участка. Это говорит нам о том, что этот участок является статически определимым.
2.2) Расчет перемещений для второго участка стержня (от b до c):
L2 = 600 мм (по условию).
Из таблицы вариантов, мы находим D1 = 40 мм и d2 = 30 мм, поэтому радиусы будут соответственно R2 = (40 - 30) / 2 = 5 мм и r2 = 30 / 2 = 15 мм.
Момент инерции поперечного сечения круга можно рассчитать с помощью формулы:
I2 = (π / 4) * (R2^4 - r2^4) = (π / 4) * ((5)^4 - (15)^4) мм^4.
I2 = 48765.7 мм^4.
Теперь, применяя формулу для прогиба, мы можем получить значение перемещения участка стержня:
δ2 = (F * L2^3) / (3 * E * I2) = (50000 * (600)^3) / (3 * 120000 * 48765.7) мм.
δ2 = 1.325 мм.
2.3) Расчет перемещений для третьего участка стержня (от c до d):
L3 = 400 мм (по условию).
Из таблицы вариантов, мы находим D1 = 40 мм и d3 = 40 мм, поэтому радиусы будут соответственно R3 = (40 - 40) / 2 = 0 мм и r3 = 40 / 2 = 20 мм.
Момент инерции поперечного сечения круга можно рассчитать с помощью формулы:
I3 = (π / 4) * (R3^4 - r3^4) = (π / 4) * ((0)^4 - (20)^4) мм^4.
I3 = -2513274.8 мм^4.
Теперь, применяя формулу для прогиба, мы можем получить значение перемещения участка стержня:
δ3 = (F * L3^3) / (3 * E * I3) = (50000 * (400)^3) / (3 * 120000 * -2513274.8) мм.
δ3 = -0.305 мм.
Таким образом, значение перемещения сечений стержня, относительно левой заделки, будет следующим:
δ1 = Undefined (неопределено),
δ2 = 1.325 мм,
δ3 = -0.305 мм.
3) Определение опасного сечения и выбор размеров поперечных сечений стержней, исходя из условия прочности.
Для определения опасного сечения стержня, мы должны найти сечение с наибольшим напряжением (σ), так как это является потенциально наиболее слабым местом стержня.
3.1) Определение напряжения для первого участка стержня (от а до b):
σ1 = P / A1 = 50000 / 21144 МПа.
σ1 ≈ 2.365 МПа.
3.2) Определение напряжения для второго участка стержня (от b до c):
σ2 = P / A2 = 50000 / 18494 МПа.
σ2 ≈ 2.703 МПа.
3.3) Определение напряжения для третьего участка стержня (от c до d):
σ3 = P / A3 = 50000 / 33904 МПа.
σ3 ≈ 1.474 МПа.
Таким образом, самое высокое значение напряжения (2.703 МПа) находится во втором участке стержня (от b до c). По условию, мы должны выбрать размер поперечного сечения стержня так, чтобы коэффициент запаса прочности n=2.
Мы можем рассчитать необходимую площадь поперечного сечения для обеспечения этого коэффициента запаса прочности, используя формулу:
A_needed = P / (n * σ),
где A_needed - необходимая площадь поперечного сечения для выбранного участка стержня, n - коэффициент запаса прочности, σ - напряжение в выбранном сечении стержня.
A_needed = 50000 / (2 * 2.703) мм^2.
A_needed ≈ 9229.6 мм^2.
Чтобы выбрать размеры сечений стержней, нам нужно проверить размеры из таблицы вариантов и найти ближайшее значению необходимой площади поперечного сечения.
Из таблицы вариантов у нас есть следующие данные: D1=40 мм, d1=20 мм, d2=30 мм и d3=40 мм.
Используя формулу для площади поперечного сечения стержня (уже описанную выше), мы можем рассчитать площади для каждого участка стержня и выбрать подходящие размеры.
3.1) Расчет площади поперечного сечения первого участка стержня (от а до b):
A1 = π * (((D1+d1)/2)^2 - (d1/2)^2) = π * (((40+20)/2)^2 - (20/2)^2) = π * (60^2 - 10^2) мм^2.
A1 ≈ 21144 мм^2.
3.2) Расчет площади поперечного сечения второго участка стержня (от b до c):
A2 = π * (((D1+d2)/2)^2 - (d2/2)^2) = π * (((40+30)/2)^2 - (30/2)^2) = π * (55^2 - 15^2) мм^2.
A2 ≈ 18494 мм^2.
3.3) Расчет площади поперечного сечения третьего участка стержня (от c до d):
A3 = π * (((D1+d3)/2)^2 - (d3/2)^2) = π * (((40+40)/2)^2 - (40/2)^2) = π * (60^2 - 20^2) мм^2.
A3 ≈ 33904 мм^2.
Таким образом, возможные размеры поперечных сечений стержня будут следующими:
A1 = 21144 мм^2,
A2 = 18494 мм^2,
A3 = 33904 мм^2.
Из расчетов мы видим, что площадь поперечного сечения второго участка стержня (от b до c) наиболее близка к необходимому значению (9229.6 мм^