1) tg⁴φ[ 8cos²(π-φ)-cos(π+4φ)-1]=tg⁴φ [8cos²φ+cos4φ-1]=tg⁴φ [8cos²φ-(1-cos4φ)]=
=tg⁴φ [8cos²φ-2sin²2φ]=tg⁴φ [8cos²φ-2*(2sinφcosφ)²]=tg⁴φ [8cos²φ-8sin²φcos²φ]=
=tg⁴φ* 8cos²φ [1-sin²φ]=8*tg⁴φ *cos²φ *cos²φ=8*tg⁴φ *cos⁴φ=8 sin⁴φ
2) sin⁴x-cos⁴x=sin2x
(sin²x-cos²x)(sin²x+cos²x)=sin2x , cos2x=cos²x-sin²x
-cos2x=sin2x
sin2x-cos2x=0 Делим на cos2x≠0
tg2x-1=0, tg2x=1, 2x=π/4+πn, x=π/8+πn/2, n∈Z
3) 2sin²x-√3sin2x=0
2sin²x-√3*2*sinx cosx=0
2sinx(sinx-√3cosx)=0
a) sinx=0, x=πn, n∈Z
b) sinx-√3cosx=0 Делим на cosx≠0, получим
tgx-√3=0, tgx=√3, x=arctg√3+πk, x=π/3+πk, k∈Z
ответ: x=πn, n∈Z , x=π/3+πk, k∈Z
4) a) 2 arcsin(-√3/2)+arctg(-1)+arccos√2/2= 2*(-arcsin√3/2)-arctg1+arccos√2/2=
=-2* π/3-π/4+π/4= -2π/3
b) arcsin1+arctg(-√3)+arccos√3/2=π/4-arctg√3+π/6=π/4-π/3+π/6=π/12
5)cos2x=-5/13, x∈(π, 3π/2). Найти tgx.
cos2x=(1-tg²x) /(1+tg²x)
Для удобства обозначим t=tgx, тогда подставим в предыдущую формулу значение cos2x, получим -5 1-t²
= , -5(1+t²)=13(1-t²) , -5-5t²=13-13t² , 8t²=18 , t²=2,25
13 1+t² t₁= -1,5 t₂= +1,5
По условию угол принадлежит 3 четверти, ф в ней tgx<0,поэтому tgx= +1,5
1) b) 1 2cos2α 1 2cos2α cos²α 2cos2α
- = - = - =
tg²α 1+sin(2α+1,5π) tg²α 1-cos2α sin²α 2sin²α
cos²α - (cos²α-sin²α) sin²α
= = =1
sin²α sin²α
1) tg⁴φ[ 8cos²(π-φ)-cos(π+4φ)-1]=tg⁴φ [8cos²φ+cos4φ-1]=tg⁴φ [8cos²φ-(1-cos4φ)]=
=tg⁴φ [8cos²φ-2sin²2φ]=tg⁴φ [8cos²φ-2*(2sinφcosφ)²]=tg⁴φ [8cos²φ-8sin²φcos²φ]=
=tg⁴φ* 8cos²φ [1-sin²φ]=8*tg⁴φ *cos²φ *cos²φ=8*tg⁴φ *cos⁴φ=8 sin⁴φ
2) sin⁴x-cos⁴x=sin2x
(sin²x-cos²x)(sin²x+cos²x)=sin2x , cos2x=cos²x-sin²x
-cos2x=sin2x
sin2x-cos2x=0 Делим на cos2x≠0
tg2x-1=0, tg2x=1, 2x=π/4+πn, x=π/8+πn/2, n∈Z
3) 2sin²x-√3sin2x=0
2sin²x-√3*2*sinx cosx=0
2sinx(sinx-√3cosx)=0
a) sinx=0, x=πn, n∈Z
b) sinx-√3cosx=0 Делим на cosx≠0, получим
tgx-√3=0, tgx=√3, x=arctg√3+πk, x=π/3+πk, k∈Z
ответ: x=πn, n∈Z , x=π/3+πk, k∈Z
4) a) 2 arcsin(-√3/2)+arctg(-1)+arccos√2/2= 2*(-arcsin√3/2)-arctg1+arccos√2/2=
=-2* π/3-π/4+π/4= -2π/3
b) arcsin1+arctg(-√3)+arccos√3/2=π/4-arctg√3+π/6=π/4-π/3+π/6=π/12
5)cos2x=-5/13, x∈(π, 3π/2). Найти tgx.
cos2x=(1-tg²x) /(1+tg²x)
Для удобства обозначим t=tgx, тогда подставим в предыдущую формулу значение cos2x, получим -5 1-t²
= , -5(1+t²)=13(1-t²) , -5-5t²=13-13t² , 8t²=18 , t²=2,25
13 1+t² t₁= -1,5 t₂= +1,5
По условию угол принадлежит 3 четверти, ф в ней tgx<0,поэтому tgx= +1,5
1) b) 1 2cos2α 1 2cos2α cos²α 2cos2α
- = - = - =
tg²α 1+sin(2α+1,5π) tg²α 1-cos2α sin²α 2sin²α
cos²α - (cos²α-sin²α) sin²α
= = =1
sin²α sin²α