решить задачу по вероятности по закону распределения!
В группе 10 юношей, которые играют, набрасывая кольца на колышек. Для шести из них вероятность попадания кольца на колышек равно 0,6, а для остальных - 0,5. По жребию отобрано двое юношей. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа юношей с лучшей подготовкой среди отобранных лиц.
Математическое ожидание (M) случайной величины - это среднее значение этой величины, которое можно вычислить, умножив каждое возможное значение на его вероятность и сложив все полученные произведения.
Дисперсия (D) случайной величины - это мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Она вычисляется как среднее значение квадратов отклонений каждого значения случайной величины от ее математического ожидания.
Теперь давайте решим задачу.
1. Рассмотрим случай выбора двух юношей из группы. Возможны следующие варианты:
- Оба юноши имеют вероятность попадания 0,6.
- Оба юноши имеют вероятность попадания 0,5.
- Один юноша имеет вероятность попадания 0,6, а другой - 0,5.
Для первого случая вероятность выбора этого варианта составляет (6/10) * (5/9).
Для второго случая вероятность выбора этого варианта составляет (4/10) * (3/9).
Для третьего случая вероятность выбора этого варианта составляет
[(6/10) * (4/9)] + [(4/10) * (6/9)].
2. Теперь рассчитаем математическое ожидание числа юношей с лучшей подготовкой среди отобранных лиц.
Обозначим эту случайную величину Х.
Вариант, когда оба юноши имеют вероятность попадания 0,6, соответствует значению Х = 2.
Вариант, когда оба юноши имеют вероятность попадания 0,5, соответствует значению Х = 0.
Вариант, когда один юноша имеет вероятность попадания 0,6, а другой - 0,5, соответствует значению Х = 1.
Математическое ожидание M(X) можно вычислить следующим образом:
M(X) = (вероятность выбора варианта 1) * (значение Х для варианта 1) +
(вероятность выбора варианта 2) * (значение Х для варианта 2) +
(вероятность выбора варианта 3) * (значение Х для варианта 3).
Подставим значения:
M(X) = [(6/10) * (5/9)] * 2 +
[(4/10) * (3/9)] * 0 +
[((6/10) * (4/9)) + ((4/10) * (6/9))] * 1.
Произведем вычисления:
M(X) = (30/90) * 2 + (12/90) * 0 + (24/90) * 1.
M(X) = (60/90) + 0 + (24/90).
M(X) = 84/90.
M(X) = 0,9333 (округлить до четырех знаков после запятой).
Таким образом, математическое ожидание числа юношей с лучшей подготовкой среди отобранных лиц равно 0,9333.
3. Рассчитаем дисперсию числа юношей с лучшей подготовкой среди отобранных лиц.
Дисперсия D(X) случайной величины X вычисляется по формуле:
D(X) = (вероятность выбора варианта 1) * [(значение Х для варианта 1) - M(X)]^2 +
(вероятность выбора варианта 2) * [(значение Х для варианта 2) - M(X)]^2 +
(вероятность выбора варианта 3) * [(значение Х для варианта 3) - M(X)]^2.
Подставим значения:
D(X) = [(6/10) * (5/9)] * [2 - (84/90)]^2 +
[(4/10) * (3/9)] * [0 - (84/90)]^2 +
[((6/10) * (4/9)) + ((4/10) * (6/9))] * [1 - (84/90)]^2.
Произведем вычисления:
D(X) = (30/90) * [2 - (84/90)]^2 + (12/90) * [0 - (84/90)]^2 + (24/90) * [1 - (84/90)]^2.
D(X) = (30/90) * [2 - 0.9333]^2 + (12/90) * [0 - 0.9333]^2 + (24/90) * [1 - 0.9333]^2.
D(X) = (30/90) * [1.0667]^2 + (12/90) * [-0.9333]^2 + (24/90) * [0.0667]^2.
D(X) = (30/90) * 1.1378 + (12/90) * 0.8701 + (24/90) * 0.0044.
D(X) = 0.3792 + 0.1160 + 0.0012.
D(X) = 0.4964.
Таким образом, дисперсия числа юношей с лучшей подготовкой среди отобранных лиц равна 0.4964.
Ответ:
Математическое ожидание числа юношей с лучшей подготовкой среди отобранных лиц равно 0,9333.
Дисперсия числа юношей с лучшей подготовкой среди отобранных лиц равна 0,4964.