с контрольной 1. Определите, на какое количество групп нужно разделить совокупность, если она состоит из 100 наблюдений, и какова должна быть величина интервала, если размах вариации составляет 1600 д. ед. Используйте формулу Стерджесса.
2. Коэффициенты роста к предыдущему году составили: в 2014 г. – 1,014 в 2015 г. -1,031, в 2016 г. – 1,033, в 2017 г. – 1,089. Чему равен базисный темп роста в 2017 г. (к 2013 г.)?
3. Рассчитайте относительную величину динамики базисную численности населения региона в 2014 г., если известно, что численность населения региона в 2012 г. составляла 1,54 млн. чел., в 2013 г. – 1,58 млн. чел., в 2014 г. – 1,59 млн. чел., в 2015 г. – 1,62 млн. чел. Приведите решение, ответ округлите до десятых.
4. В мае было продано товара А на 150 тыс. руб., товара Б – на 70 тыс. руб., товара В – на 115 тыс. руб. В июне цена на товар А увеличилась на 3,5%, на товар Б снизилась на 1%, на товар В не изменилась. Чему равен сводный индекс цен в июне по сравнению с маем?
5. Постройте уравнение линии тренда, если известно, что имеются данные за 12 лет, сумма значений исследуемого показателя (сумма всей уровней ряда) равна 1200, а сумма произведения уровней ряда на соответствующие показатели времени («условные» t, смоделированные на основе фактических периодов времени и их количества) равна 55.
6. Чему равен коэффициент вариации, если средняя величина признака равна 22, а средняя величина квадрата признака 509.
7. Чему равна медиана в совокупности, состоящей из 150 единиц, медианный оказался интервал от 50 до 55 тыс. руб., в котором располагаются 50 единиц, а количество сотрудников, которое получает заработную плату не более 55 тыс. руб. составляет 80 чел.
Количество групп = 1 + log2(n), где n - количество наблюдений.
В данном случае, n = 100, поэтому количество групп = 1 + log2(100) = 1 + log2(2^6) = 1 + 6 = 7.
Таким образом, нужно разделить совокупность на 7 групп.
Для определения величины интервала используем формулу:
Величина интервала = размах вариации / количество групп.
В данном случае, размах вариации = 1600 ед., количество групп = 7, поэтому
Величина интервала = 1600 / 7 = 228,57 ед. (округляем до ближайшего целого числа).
Таким образом, величина интервала должна быть около 229 д. ед.
2. Базисный темп роста в 2017 году к 2013 году равен произведению коэффициентов роста с 2013 по 2017 годы:
Базисный темп роста = (1,014 * 1,031 * 1,033 * 1,089)^(1/4) - 1.
Вычисляем:
Базисный темп роста = (1,17573)^(1/4) - 1 = 1,031 - 1 = 0,031.
Таким образом, базисный темп роста в 2017 году равен 3,1%.
3. Для расчета относительной величины динамики базисной численности населения региона в 2014 году используем формулу:
Относительная величина динамики = (Численность населения в текущем году - Численность населения в предыдущем году) / Численность населения в предыдущем году * 100%.
В данном случае, Численность населения в 2012 году = 1,54 млн. чел., Численность населения в 2013 году = 1,58 млн. чел., Численность населения в 2014 году = 1,59 млн. чел.
Вычисляем:
Относительная величина динамики = (1,59 - 1,58) / 1,58 * 100% = 0,01 / 1,58 * 100% = 0,0063 * 100% = 0,63%.
Округляем до десятых: Относительная величина динамики = 0,6%.
4. Для расчета сводного индекса цен в июне по сравнению с маем используем формулу:
Сводный индекс цен = (Сумма продаж по каждому товару в июне * Цена на данный товар в июне) / (Сумма продаж по каждому товару в мае * Цена на данный товар в мае) * 100%.
В данном случае, сумма продаж товара А в мае = 150 тыс. руб., цена на товар А в июне увеличилась на 3,5%, поэтому цена на товар А в июне = 150 тыс. руб. * (1 + 3,5%) = 150 тыс. руб. * 1,035 = 155,25 тыс. руб.
Сумма продаж товара Б в мае = 70 тыс. руб., цена на товар Б в июне снизилась на 1%, поэтому цена на товар Б в июне = 70 тыс. руб. * (1 - 1%) = 70 тыс. руб. * 0,99 = 69,3 тыс. руб.
Сумма продаж товара В в мае = 115 тыс. руб., цена на товар В в июне не изменилась, поэтому цена на товар В в июне = 115 тыс. руб.
Вычисляем:
Сводный индекс цен = ((155,25 тыс. руб. * 69,3 тыс. руб. * 115 тыс. руб.) / (150 тыс. руб. * 70 тыс. руб. * 115 тыс. руб.)) * 100% = 1 * 0,99 * 1 * 100% = 99%.
Таким образом, сводный индекс цен в июне по сравнению с маем равен 99%.
5. Для построения уравнения линии тренда используем метод наименьших квадратов.
Пусть уравнение линии тренда имеет вид: y = a + b*t, где y - значение исследуемого показателя, t - соответствующий показатель времени.
Известно, что сумма значений исследуемого показателя равна 1200 и сумма произведения уровней ряда на соответствующие показатели времени равна 55.
Запишем систему уравнений по методу наименьших квадратов:
Σ y = 12a + 66b = 1200,
Σ (yt) = 66a + 455b = 55.
Решим данную систему уравнений:
Умножим второе уравнение на 12 и вычтем его из первого:
12(Σ y) - Σ (yt) = 144a + 792b - 66a - 455b = 1200 - 55,
78a + 337b = 1145.
Умножим второе уравнение на 66 и вычтем его из первого:
66(Σ y) - 66(Σ (yt)) = 66(66a + 455b) - 66a - 455b = 66*55 - 1200,
4290a = 330.
Получаем систему уравнений:
78a + 337b = 1145,
4290a = 330.
Решив данную систему, найдем значения a и b:
a = 330 / 4290 = 0,0766,
b = (1145 - 78*0,0766) / 337 = 3,110.
Таким образом, уравнение линии тренда имеет вид: y = 0,0766 + 3,110*t.
6. Коэффициент вариации вычисляется по формуле:
Коэффициент вариации = (стандартное отклонение / среднее значение) * 100%.
В данном случае, средняя величина признака = 22, средняя величина квадрата признака = 509.
Стандартное отклонение можно найти из разности средней величины квадрата признака и квадрата средней величины признака:
Стандартное отклонение = sqrt (средняя величина квадрата признака - квадрат средней величины признака) = sqrt (509 - 22^2) = sqrt (509 - 484) = sqrt (25) = 5.
Вычисляем:
Коэффициент вариации = (5 / 22) * 100% = 0,227 * 100% = 22,7%.
Таким образом, коэффициент вариации равен 22,7%.
7. Медиана - это значение, которое находится посередине упорядоченного ряда.
Дано, что в медианном интервале находится 50 единиц.
Также известно, что количество сотрудников, получающих заработную плату не более 55 тыс. руб., составляет 80 человек.
Предположим, что в медианном интервале есть a единиц, количество сотрудников, получающих заработную плату не превышающую 50 тыс. руб., составляет b человек, а количество сотрудников, получающих заработную плату в интервале от 50 до 55 тыс. руб., составляет 50 человек.
Тогда в интервале от 50 до 55 тыс. руб. количество сотрудников равно:
a + b + 50 = 80.
В медианном интервале находится 50 единиц, поэтому общее количество единиц в медианном интервале и интервале от 50 до 55 тыс. руб. равно:
a + 50 + (50 - b) = 50.
Решим данную систему уравнений:
a + b + 50 = 80,
a + 100 - b = 50.
Сложим оба уравнения:
2a + 150 = 130,
2a = -20,
a = -10.
Подставим значение a в первое уравнение:
-10 + b + 50 = 80,
b = 40.
Таким образом, в медианном интервале находится -10 единиц (это невозможно, поэтому данное решение некорректно), а количество единиц в интервале от 50 до 55 тыс. руб. составляет 40.
Исходя из этого, медиана будет находиться где-то между 50 и 55 тыс. руб. и иметь значение около 52,5 тыс. руб.