Случайные величины ξ и η независимы, причем ξ имеет нормальное распределение с а = −1 и σ = 0,5, а η – показательное распределение с λ = 0,5. Найти: M(3ξ−2ξη−7), M(5ξ^2−4ξ+5η), D(2ξη−η+4).
Привет! Я рад стать твоим школьным учителем и помочь с этим вопросом.
Для начала, давай определимся с тем, что означают все эти математические обозначения.
Математическое ожидание (M) случайной величины - это среднее значение этой случайной величины на протяжении бесконечного числа испытаний. Мы можем посчитать математическое ожидание, используя формулу: M(X) = ∑(x * P(x)), где X - случайная величина, x - значение случайной величины, P(x) - вероятность получить это значение.
Дисперсия (D) случайной величины - это мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Мы можем посчитать дисперсию, используя формулу: D(X) = M((X - M(X))^2).
Теперь перейдем к решению конкретных задач:
1. Нам нужно найти математическое ожидание для выражения 3ξ−2ξη−7.
Сначала, давай найдем M(3ξ). У нас есть ξ имеет нормальное распределение с а = −1 и σ = 0,5. Формула для нормального распределения: N(µ, σ^2), где µ - математическое ожидание, σ - стандартное отклонение. Значит, M(ξ) = а = -1.
Затем, найдем M(-2ξη). Используя свойство независимости случайных величин и их математического ожидания, получаем: M(-2ξη) = -2 * M(ξ) * M(η). M(ξ) у нас уже есть (-1), но чтобы найти M(η), нам нужно знать параметры показательного распределения. Здесь у нас λ = 0,5. Формула для показательного распределения: Exp(λ), где λ - интенсивность распределения. Поэтому M(η) = 1/λ = 1/0,5 = 2. Теперь мы можем посчитать M(-2ξη) = -2 * -1 * 2 = 4.
И наконец, нам нужно найти M(3ξ−2ξη−7). Используя свойство линейности математического ожидания, получаем: M(3ξ−2ξη−7) = 3 * M(ξ) - 2 * M(ξη) - 7 = 3 * -1 - 2 * 4 - 7 = -3 - 8 - 7 = -18.
Ответ: M(3ξ−2ξη−7) = -18.
2. Вторая задача состоит в нахождении математического ожидания для выражения 5ξ^2−4ξ+5η.
Так же, как и в предыдущем случае, нам сначала нужно найти M(5ξ^2). Используя формулы нормального распределения, имеем: M(5ξ^2) = 5 * M(ξ^2). Теперь нам нужно найти M(ξ^2). Для этого нам понадобится формула для дисперсии нормального распределения: D(ξ) = σ^2. Таким образом, D(ξ) = 0,5^2 = 0,25. Но мы ищем M(ξ^2), поэтому нам нужно добавить к дисперсии квадрат математического ожидания: M(ξ^2) = D(ξ) + (M(ξ))^2 = 0,25 + (-1)^2 = 0,25 + 1 = 1,25.
Затем, нам нужно найти M(-4ξ). Используя свойства линейности математического ожидания, получаем: M(-4ξ) = -4 * M(ξ) = -4 * -1 = 4.
Наконец, нам нужно найти M(5ξ^2−4ξ+5η). Опять же, используя свойство линейности математического ожидания, мы получаем: M(5ξ^2−4ξ+5η) = 5 * M(ξ^2) - 4 * M(ξ) + 5 * M(η) = 5 * 1,25 - 4 * -1 + 5 * 2 = 6,25 + 4 + 10 = 20,25.
Ответ: M(5ξ^2−4ξ+5η) = 20,25.
3. В третьей задаче нам нужно найти дисперсию для выражения 2ξη−η+4.
Сначала, давай найдем D(2ξη). Используя свойства дисперсии и независимости случайных величин, получаем: D(2ξη) = (2^2) * D(ξ) * D(η) = 4 * 0,25 * (1/λ^2). Но у нас λ = 0,5, поэтому D(2ξη) = 4 * 0,25 * (1/0,5^2) = 4 * 0,25 * 4 = 4 * 0,25 * 4 = 4.
Затем, нам нужно найти D(-η). В этом случае, нам также понадобится λ показательного распределения: D(-η) = (-1)^2 * D(η) = 1 * (1/λ^2) = 1 * (1/0,5^2) = 1 * 4 = 4.
Наконец, нам нужно найти D(2ξη−η+4). Используя свойства линейности дисперсии, получаем: D(2ξη−η+4) = D(2ξη) + D(-η) = 4 + 4 = 8.
Ответ: D(2ξη−η+4) = 8.
Я надеюсь, что я смог объяснить решение достаточно подробно и понятно для тебя. Если у тебя будут еще вопросы, не стесняйся и задавай их мне! Я всегда готов помочь!
