Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке G.
BC || AD (по определению трапеции).
AD вдвое больше BC (по условию задачи), следовательно:
BC - средняя линия для треугольника AGD.
Тогда, CD=CG=AD/2 (по теореме о средней линии).
Получается, что AD=DG, т.е. треугольник AGD - равнобедренный.
Следовательно, ∠AGD=∠GAD=x ( свойство равнобедренного треугольника)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠AGD+∠GAD+∠ADG
180°=x+x+60°
120°=2x
x=60°, т.е. все углы треугольника ADG равны 60°, следовательно данный треугольник равносторонний.
Следовательно, AG=DG, тогда и AB=CD, т.е. трапеция ABCD равнобедренная.
Проведем высоты BE и CF как показано на рисунке.
AD=AE+EF+FD, EF=BC=6 (так как BCFE - прямоугольник), AE=FD=y (так как трапеция равнобедренная).
12=y+6+y
y=3
По теореме Пифагора CD2=CF2+FD2
62=CF2+32
CF2=27, CF=3√3
SABCD=((BC+AD)/2)*CF=((6+12)/2)*3√3
SABCD=27√3
Ответ: SABCD=27√3
Проведем высоты BE и CF как показано на рисунке.
Рассмотрим треугольник CDF. Он прямоугольный, т.к. CF-высота.
По теореме о сумме углов треугольника /FCD=180°-90°-60°=30°. По определению синуса sin/FCD=DF/CD=sin30°=1/2
Т.е. DF=CD/2, CD, в свою очередь, по условию задачи равно AD/2, получам, что DF=AD/4.
BC=AD/2 (по условию задачи)
EF=BC=AD/2 (т.к. BCFE - прямоугольник)
Вычислим AE, AE=AD-DF-EF=AD-AD/4-AD/2=AD/4, т.е. мы получили, что AE=FD
Рассмотрим треугольники ABC и DCF:
BE=CF (т.к. BCFE - прямоугольник)
AE=FD (только что получили)
/AEF=90°=/DFC, тогда по первому признаку равенства, треугольники ABC и DCF равны.
Следовательно, AB=CD, т.е. наша трапеция равнобедренная.
AB=CD=1 (по условию задачи), AD=2*CD=2*BC=2 (тоже по условию), BC=CD=1
FD=AD/4=0,5
По теореме Пифагора CD2=CF2+FD2
1^2=CF^2+0,5^2
CF^2=0,75, CF=√0,75
CF=0,5√3
SABCD=(BC+AD)/2*CF=(1+2)/2*0,5√3
SABCD=0,75√3
Ответ: SABCD=0,75√3
BC || AD (по определению трапеции).
AD вдвое больше BC (по условию задачи), следовательно:
BC - средняя линия для треугольника AGD.
Тогда, CD=CG=AD/2 (по теореме о средней линии).
Получается, что AD=DG, т.е. треугольник AGD - равнобедренный.
Следовательно, ∠AGD=∠GAD=x ( свойство равнобедренного треугольника)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠AGD+∠GAD+∠ADG
180°=x+x+60°
120°=2x
x=60°, т.е. все углы треугольника ADG равны 60°, следовательно данный треугольник равносторонний.
Следовательно, AG=DG, тогда и AB=CD, т.е. трапеция ABCD равнобедренная.
Проведем высоты BE и CF как показано на рисунке.
AD=AE+EF+FD, EF=BC=6 (так как BCFE - прямоугольник), AE=FD=y (так как трапеция равнобедренная).
12=y+6+y
y=3
По теореме Пифагора CD2=CF2+FD2
62=CF2+32
CF2=27, CF=3√3
SABCD=((BC+AD)/2)*CF=((6+12)/2)*3√3
SABCD=27√3
Ответ: SABCD=27√3
Рассмотрим треугольник CDF. Он прямоугольный, т.к. CF-высота.
По теореме о сумме углов треугольника /FCD=180°-90°-60°=30°. По определению синуса sin/FCD=DF/CD=sin30°=1/2
Т.е. DF=CD/2, CD, в свою очередь, по условию задачи равно AD/2, получам, что DF=AD/4.
BC=AD/2 (по условию задачи)
EF=BC=AD/2 (т.к. BCFE - прямоугольник)
Вычислим AE, AE=AD-DF-EF=AD-AD/4-AD/2=AD/4, т.е. мы получили, что AE=FD
Рассмотрим треугольники ABC и DCF:
BE=CF (т.к. BCFE - прямоугольник)
AE=FD (только что получили)
/AEF=90°=/DFC, тогда по первому признаку равенства, треугольники ABC и DCF равны.
Следовательно, AB=CD, т.е. наша трапеция равнобедренная.
AB=CD=1 (по условию задачи), AD=2*CD=2*BC=2 (тоже по условию), BC=CD=1
FD=AD/4=0,5
По теореме Пифагора CD2=CF2+FD2
1^2=CF^2+0,5^2
CF^2=0,75, CF=√0,75
CF=0,5√3
SABCD=(BC+AD)/2*CF=(1+2)/2*0,5√3
SABCD=0,75√3
Ответ: SABCD=0,75√3