Пусть A, B и C — какие-то три жителя города.
Ясно, что возможен случай, когда все они дружат между собой; возможно также, что один из них (скажем, A) не дружит ни с B, ни с C, а B и C дружат между собой: тогда для того, чтобы A, B и C все подружились, достаточно, чтобы A "начал новую жизнь".
Из примечания следует, что два других случая: когда все три жителя A, B и C между собой враждуют и когда один житель, — например, тот же A, — дружит с B и с C, а те враждуют между собой, уже невозможны.
Описанное строение "отношения дружбы" между любыми тремя лицами A, B и C доказывает, что в пределах всего города это отношение можно описать весьма просто: в городе имеются две группы жителей (две партии M и N, такие, что все жители принадлежат либо к одной, либо к другой партии (но никогда — к обеим сразу), причём каждые два члена одной партии между собой дружат, а жители, принадлежащие к разным партиям, обязательно враждуют. В самом деле, присоединим к нашим трем жителям A, B и C города "Многообразие" еще одного жителя D; в таком случае, если A и B дружат между собой и D дружит хоть с одним из них, то он дружит и со вторым — и, значит, принадлежит к партии, в которую входят и A, и B; если же A и B между собой враждуют, то D дружит лишь с одним из них (но с одним дружит непременно!). Это рассуждение обеспечивает возможность разбиения четвёрки жителей A, B, C и D на две партии M и N (впрочем, одна из этих партий может быть и "пустой": так будет, если все жители A, B, C и D дружат между собой). Поступая так же и дальше, т. е. последовательно присоединяя к уже рассмотренным жителям города по одному человеку, мы докажем возможность разбиения на две партии всех 2014 жителей города.
Теперь доказательство утверждения задачи не представляет уже никакого труда. Если все жители города дружат между собой, то нам и доказывать нечего; если же ни одна из партий M и N не "пуста", то мы предложим каждый день одному из участников партии M "начинать новую жизнь", т. е., попросту, переходить в партию N. Если в партии M имеется k человек, то все жители города смогут подружиться за k дней.
Ясно, что возможен случай, когда все они дружат между собой; возможно также, что один из них (скажем, A) не дружит ни с B, ни с C, а B и C дружат между собой: тогда для того, чтобы A, B и C все подружились, достаточно, чтобы A "начал новую жизнь".
Из примечания следует, что два других случая: когда все три жителя A, B и C между собой враждуют и когда один житель, — например, тот же A, — дружит с B и с C, а те враждуют между собой, уже невозможны.
Описанное строение "отношения дружбы" между любыми тремя лицами A, B и C доказывает, что в пределах всего города это отношение можно описать весьма просто: в городе имеются две группы жителей (две партии M и N, такие, что все жители принадлежат либо к одной, либо к другой партии (но никогда — к обеим сразу), причём каждые два члена одной партии между собой дружат, а жители, принадлежащие к разным партиям, обязательно враждуют. В самом деле, присоединим к нашим трем жителям A, B и C города "Многообразие" еще одного жителя D; в таком случае, если A и B дружат между собой и D дружит хоть с одним из них, то он дружит и со вторым — и, значит, принадлежит к партии, в которую входят и A, и B; если же A и B между собой враждуют, то D дружит лишь с одним из них (но с одним дружит непременно!). Это рассуждение обеспечивает возможность разбиения четвёрки жителей A, B, C и D на две партии M и N (впрочем, одна из этих партий может быть и "пустой": так будет, если все жители A, B, C и D дружат между собой). Поступая так же и дальше, т. е. последовательно присоединяя к уже рассмотренным жителям города по одному человеку, мы докажем возможность разбиения на две партии всех 2014 жителей города.
Теперь доказательство утверждения задачи не представляет уже никакого труда. Если все жители города дружат между собой, то нам и доказывать нечего; если же ни одна из партий M и N не "пуста", то мы предложим каждый день одному из участников партии M "начинать новую жизнь", т. е., попросту, переходить в партию N. Если в партии M имеется k человек, то все жители города смогут подружиться за k дней.